在素数序列中，有些相邻素数之间的差是2，比如3与5，5与7，11与13，等等，这样的素数叫作孪生素数。初看起来，似乎孪生素数在素数序列中相当密集，但实际上并非如此，越到后面就越来越难以遇到了。可以证明，孪生素数在素数序列中相当稀疏，其密度是零；也就是说，几乎所有的素数都不是孪生素数。尽管如此，孪生素数又会时不时地出现。2011年，人们发现两个有200700位的孪生素数：3756801695685×2666669±1^。看来孪生素数似乎也永无尽头。人们猜想：孪生素数有无穷多对。这个猜想的难度与偶数的哥德巴赫猜想相当，到现在也没有解决。2013年，旅美华人数学家张益唐证明了存在一个正偶数n，其值不超过7×10^7，使得有无穷多对素数p和q满足p q =n。这是孪生素数猜想提出以来最杰出的研究进展。
孪生素数猜想也可以叙述为：多项式x及x+2可以同时取素数值无穷多次。使用多项式的语言，还可以提出三生素数猜想：多项式x, x+2及x+6可以同时取素数值无穷多次。更一般地，英国数学家哈代与李特尔伍德提出了k生素数猜想，其中k是一个事先固定的正整数。当然，上述所有猜想都没有得到证明。
埃尔德什-图兰猜想则从另一方面考虑素数之间的一些联系，它对素数之间的差没有特定要求（比如孪生素数的差是2），但对素数个数的要求是任意多都行。埃尔德什-图兰猜想说的是：素数序列中有任意长的等差子序列。2004年，陶哲轩与格林合作，将遍历理论与解析数论相结合，攻克了这个多年未解的数论难题，这也是陶哲轩获得菲尔兹奖的主要贡献之一。