有理数和无理数共同组成了实数。康托尔在发现有理数可以和作为它一部分的正整数一样多之后，很自然就想到了一个问题：实数是否可以和作为它一部分的有理数一样多？经过深入研究，康托尔得出了否定的结论。为了说明康托尔的结论，我们先来注意一个事实：从点A发出的射线，使得半圆周上的点与实数轴上的点作成一一对应，而垂线又使得（0，1）区间上的点与半圆周上的点作成一一对应，于是可以断言（0，1）区间上的实数与全体实数一样多。
现在，康托尔只需证明，（0，1）区间上的实数不能像有理数那样排成一个无穷序列就行了。对此他用反证法给出了一个非常巧妙的证明：假设（0，1）区间上的实数可以排成一列，设为x₁，x₂，x₃，…。我们知道（0，1）区间上每一个实数都可以唯一地表示为无限小数，可以将每个xᵢ表示为xᵢ=0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃…（i=1，2，…）。
现在构造一个新数x=0.b₁b₂b₃…，使得b₁≠a₁₁，b₂≠a₂₂，b₃≠a₃₃，…，以此类推。这样构造出的数x当然是（0，1）区间中的一个实数，但它不可能是上面的数列x₁，x₂，x₃，…中的任何一个数。
这表明无论将（0，1）区间中的实数如何排列，总有至少一个数不能排到这个序列中去。因此，虽然（0，1）区间上的实数和有理数都有无穷多，但它那种无穷（也就是全体实数那种无穷），要比全体有理数那种无穷（也就是全体自然数那种无穷）还大。由于实数去掉有理数剩下的就是无理数，显然无理数全体也是不能排成一个序列的（因为两个序列总是可以合成一个序列），这表明无理数比有理数还要多。