Unter allen Zahlenfolgen ist die Fibonacci-Zahlenfolge zweifellos die bekannteste. 1202 vollendete der in Pisa, Italien, geborene Mathematiker Leonardo Fibonacci sein berühmtes Werk „Liber Abaci“, in dem er ein interessantes „Kaninchenzuchtproblem“ untersuchte, aus dem die Fibonacci-Zahlenfolge hervorging.
Das Kaninchenzuchtproblem war eigentlich ein von Fibonacci entwickeltes mathematisches Modell: Angenommen, ein Paar großer Kaninchen bringt jedes Jahr ein Paar kleiner Kaninchen zur Welt, und die kleinen Kaninchen werden nach einem Jahr zu großen Kaninchen. Außerdem leben alle Kaninchen ewig. Wie würden sich diese Kaninchen dann vermehren?
Im ersten Jahr gibt es nur ein Paar kleiner Kaninchen. Im zweiten Jahr werden die kleinen Kaninchen zu einem Paar großer Kaninchen, und die Anzahl der Kaninchenpaare bleibt bei einem. Im dritten Jahr bringen die großen Kaninchen ein Paar kleiner Kaninchen zur Welt, und die Anzahl der Kaninchenpaare steigt auf zwei. Im vierten Jahr bringen die großen Kaninchen ein weiteres Paar kleiner Kaninchen zur Welt, und das ursprüngliche Paar kleiner Kaninchen wird zu einem Paar großer Kaninchen, sodass die Anzahl der Kaninchenpaare auf drei steigt.
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Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Anzahl der Kaninchenpaare jedes Jahr gleich der Anzahl der vorherigen Kaninchenpaare plus der Anzahl der neuen Kaninchen in diesem Jahr ist: Anzahl der Kaninchenpaare im ersten Jahr = Anzahl der Kaninchenpaare im vorherigen Jahr + Anzahl der neuen Kaninchen im ersten Jahr = Anzahl der Kaninchenpaare im vorherigen Jahr + Anzahl der großen Kaninchen im vorherigen Jahr.
Das heißt, wenn wir die Anzahl der Kaninchenpaare im n-ten Jahr mit Fn bezeichnen, dann gilt F1 = F2 = 1, und für n ≥ 3 gilt Fn = F(n - 1) + F(n - 2), woraus sich folgende Zahlenfolge ergibt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 …, wobei jede Zahl ab der dritten Zahl die Summe der beiden vorherigen Zahlen ist. Da diese Zahlenfolge von Fibonacci als erster untersucht wurde, wird sie heute als Fibonacci-Zahlenfolge bezeichnet.
Die Fibonacci-Zahlenfolge ist eine sehr interessante, nützliche und berühmte Zahlenfolge, die viele faszinierende Eigenschaften aufweist, und Mathematiker erforschen sie bis heute. Im Folgenden stellen wir einige davon kurz vor.
Mit den ersten sechs Zahlen der Fibonacci-Zahlenfolge 1, 1, 2, 3, 5, 8 als Seitenlängen können sechs Quadrate zu einem Rechteck mit den Seitenlängen 8 und 13 zusammengesetzt werden. Generell können n Quadrate mit den ersten n Zahlen der Fibonacci-Zahlenfolge zu einem Rechteck mit den Seitenlängen Fn und F(n + 1) zusammengesetzt werden. Tatsächlich kann mit Hilfe der mathematischen Induktion die folgende Eigenschaft bewiesen werden:
Die Fibonacci-Zahlenfolge hat auch eine allgemeine Formel: hierbei ist φ die berühmte Goldene Zahl.
Ist es nicht erstaunlich, dass eine Zahlenfolge, die vollständig aus natürlichen Zahlen besteht, durch die irrationale Zahl φ dargestellt werden kann? Bereits in der Mitte des 18. Jahrhunderts wussten die berühmten Mathematiker Desargues und Euler von dieser Formel. In der Mitte des 19. Jahrhunderts entdeckte der französische Mathematiker Jacques Philippe Marie Binet diese Formel erneut.
Darüber hinaus lässt sich feststellen, dass das Verhältnis von zwei aufeinanderfolgenden Zahlen der Fibonacci-Zahlenfolge F(n + 1)/Fn immer näher an φ, die Goldene Zahl, heranrückt.
Neben vielen mathematischen Besonderheiten haben Wissenschaftler auch festgestellt, dass bestimmte Mengen in der Pflanzenwelt der Fibonacci-Zahlenfolge folgen, wie beispielsweise die Anzahl der Äste eines Baumes, die Anzahl der Blütenblätter einer Blume, die Anzahl der Früchte eines Baumes oder die Anordnung der Furchen auf einer Schale. Auf einer schönen Sonnenblume zum Beispiel gibt es eine linke und eine rechte Spirale. Wenn es 13 rechte Spiralen gibt, gibt es 21 linke Spiralen, insgesamt also 34. Auch die Anzahl der Blütenblätter vieler Pflanzen beträgt 3, 5, 8, 13, 21 usw. Wer es interessiert, kann einige Blüten zählen.
Die Blätter einer Pflanze steigen spiralförmig auf dem Stamm auf. Im Jahr 1611 entdeckte der deutsche Astronom Kepler, dass, wenn man die Blätter, die sich um den Stamm oder Zweig befinden, anordnet, sie eine Fibonacci-Spirale bilden.Die beiden nächsten Blätter in derselben Richtung werden als Beginn und Ende eines Zyklus betrachtet. In diesem Zyklus kann es viele Blätter geben, die möglicherweise mehrere Runden um den Zweig oder Stamm machen. Wenn wir die Gesamtzahl der Blätter in einem Zyklus als m und die Anzahl der Runden, die die Blätter in diesem Zyklus machen, als n bezeichnen, dann sind m und n Zahlen, die mit der Fibonacci-Folge in Verbindung stehen. Zum Beispiel ist n = 1 und m = 2 bei Ulmen; n = 1 und m = 3 bei Buchen; n = 2 und m = 5 bei Kirschen und Eichen (d. h., es gibt 5 Blätter pro Zyklus, und ein Zyklus endet erst nach 2 Runden); n = 3 und m = 8 bei Birnen; n = 5 und m = 13 bei Weiden. Diese Zahlen sind alle Teil der Fibonacci-Folge – das ist einfach unglaublich!
Es gibt noch viele weitere Geschichten über die Fibonacci-Folge, insbesondere ihre enge Verbindung zum Goldenen Schnitt.