Sind Primzahlen endlich oder unendlich? Das ist eine sehr grundlegende Frage. Tatsächlich gibt es unendlich viele Primzahlen, aber das ist nicht offensichtlich. Der erste Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen erschien in Euklids berühmtem Werk „Die Elemente“, und zwar in Proposition 20 des neunten Buches. Euklid verwendete hier die Methode des Widerspruchs. Angenommen, es gäbe nur k Primzahlen, die von klein bis groß als p1, p2, …, pk angeordnet sind. Betrachten wir P = p1p2…pk + 1. Es ist offensichtlich, dass pk größer als p ist, also muss p eine Zahl mit mehreren Primfaktoren sein. Angenommen, pk einer dieser Primfaktoren ist, dann muss p durch p1, p2, …, pk teilbar sein, was einen Widerspruch darstellt. Damit ist bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Ein weiterer Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen wurde von Euler geliefert. Ebenfalls mit der Methode des Widerspruchs wurde angenommen, dass es nur k Primzahlen gibt, die von klein bis groß als p1 (= 2), p2 (= 3), …, pk angeordnet sind, wobei k eine positive ganze Zahl ist. Die Summe der Produkte ist offensichtlich eine endliche positive Zahl. Mithilfe der Formel für die Summe von Gleichverhältnisreihen und des arithmetischen Grundgesetzes kann jede ganze Zahl größer als 1 als Produkt einiger Potenzen von p1, p2, …, pk geschrieben werden, sodass nach dem Entfernen aller Klammern aus der ersten Gleichung folgt. Allerdings wusste Euler bereits, dass die Summe der Kehrwerte der rechten Seite unendlich groß ist, was einen Widerspruch darstellt. Damit ist bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Wenn es nur endlich viele Primzahlen gäbe, wären viele schwierige Probleme in der Zahlentheorie nicht mehr schwierig (und die Riemann-Hypothese würde nicht mehr existieren). Allerdings würde dies auch den Charme und den Forschungswert der Zahlentheorie stark verringern. Obwohl Eulers Beweis etwas komplizierter ist als der von Euklid, inspirierte er den deutschen Mathematiker Riemann zur Untersuchung der Verteilung von Primzahlen mit Hilfe der ζ-Funktion.
Nachdem bewiesen wurde, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, kann eine noch tiefergehende Frage gestellt werden: Wie viele Primzahlen gibt es auf der Zahlengeraden bis zu einer großen Zahl x? Ende des 18. Jahrhunderts vermuteten Gauss und Legendre, dass die Anzahl der Primzahlen bis zu x ungefähr x/lnx beträgt, wobei x größer wird, desto genauer wird diese Annäherung. Gauss' Vermutung gab einen Hinweis auf die Geschwindigkeit, mit der die Anzahl der Primzahlen bis zu x zunimmt, wenn x steigt.
Zur Beweisführung dieser Vermutung entwickelte Riemann die ζ-Funktionstheorie. Riemanns Arbeit wurde offensichtlich von Eulers Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen inspiriert. In der von Riemann vorgegebenen Richtung gelang es den französischen Mathematikern Hadamard und dem Belgier de la Vallée Poussin, den Beweis 1896, also über 100 Jahre nach Gauss' Vermutung, zu liefern, und seitdem wird diese Vermutung als Primzahlensatz bezeichnet.
Während der Entwicklung der ζ-Funktionstheorie stellte Riemann die berühmte Riemann-Hypothese auf, die bis heute nicht bewiesen ist. Die Riemann-Hypothese steht in engem Zusammenhang mit der Verteilung der Primzahlen, und eine ihrer äquivalenten Formen lautet: Der Primzahlensatz hat den bestmöglichen Fehlerterm.