In der Primzahlfolge sind einige Primzahlen, die aufeinander folgen, 2 voneinander entfernt, wie zum Beispiel 3 und 5, 5 und 7, 11 und 13 usw. Solche Primzahlen werden Zwillingsprimzahlen genannt. Auf den ersten Blick scheinen Zwillingsprimzahlen in der Primzahlfolge ziemlich häufig zu sein, aber in Wirklichkeit ist das nicht der Fall. Je weiter man geht, desto schwieriger wird es, sie zu finden. Es kann bewiesen werden, dass Zwillingsprimzahlen in der Primzahlfolge ziemlich selten sind und ihre Dichte null ist; das heißt, fast alle Primzahlen sind keine Zwillingsprimzahlen. Trotzdem tauchen Zwillingsprimzahlen immer wieder auf. Im Jahr 2011 wurden zwei Zwillingsprimzahlen mit 200.700 Stellen entdeckt: 3756801695685 × 2666669 ± 1. Es scheint, dass es unendlich viele Zwillingsprimzahlen gibt. Diese Vermutung ist genauso schwierig wie die Goldbach-Vermutung für gerade Zahlen und wurde bisher nicht gelöst. Im Jahr 2013 bewies der in den USA lebende chinesische Mathematiker Zhang Yitang, dass es eine positive gerade Zahl n gibt, die nicht größer als 7×10^7 ist, und dass es unendlich viele Paare von Primzahlen p und q gibt, so dass p q = n. Dies ist der bedeutendste Forschungsfortschritt seit der Aufstellung der Vermutung über Zwillingsprimzahlen.
Die Vermutung über Zwillingsprimzahlen kann auch so formuliert werden: Die Polynome x und x + 2 können unendlich oft gleichzeitig Primwerte annehmen. In der Sprache der Polynome kann auch die Vermutung über drei Primzahlen aufgestellt werden: Die Polynome x, x + 2 und x + 6 können unendlich oft gleichzeitig Primwerte annehmen. Allgemeiner formuliert, stellten die britischen Mathematiker Hardy und Littlewood die Vermutung über k Primzahlen auf, wobei k eine vorher festgelegte positive ganze Zahl ist. Natürlich wurden alle oben genannten Vermutungen nicht bewiesen.
Die Erdős-Turán-Vermutung betrachtet andererseits einige Verbindungen zwischen Primzahlen. Sie stellt keine spezifischen Anforderungen an den Unterschied zwischen Primzahlen (wie bei Zwillingsprimzahlen, bei denen der Unterschied 2 ist), sondern an die Anzahl der Primzahlen. Die Erdős-Turán-Vermutung besagt, dass es in der Primzahlfolge beliebig lange arithmetische Unterfolgen gibt. Im Jahr 2004 lösten Terence Tao und Gérard Laumon dieses seit Jahren ungelöste Problem der Zahlentheorie durch die Kombination von Ergodentheorie und analytischer Zahlentheorie, was einen der Hauptbeiträge Taos zum Gewinn des Fields-Medaille darstellte.