1883 zeigte der deutsche Mathematiker Cantor den Menschen eine sehr merkwürdige Menge. Betrachten wir das Intervall 0, 1, das aus allen reellen Zahlen zwischen 0 und 1 besteht, und teilen wir es in drei Abschnitte und entfernen wir den mittleren offenen Abschnitt (1/3, 2/3). Somit bleibt die verbleibende Menge die Vereinigung der beiden übrigen Abschnitte, nämlich 0, 1/3 ∪ 2/3, 1. Anschließend teilen wir jeden Abschnitt erneut in drei Abschnitte und entfernen wir den mittleren offenen Abschnitt, womit wir eine Menge aus vier noch kleineren übrigen Abschnitten erhalten. Wir entfernen weiterhin jeweils ein Drittel der mittleren Abschnitte und tun dies unendlich oft, bis schließlich die Menge der übrigen Zahlen als Cantor-Menge bezeichnet wird. Es lässt sich leicht zeigen, dass nach jedem Entfernen des mittleren Abschnitts aller übrigen Abschnitte die Gesamtlänge aller übrigen Abschnitte auf zwei Drittel der ursprünglichen Länge reduziert wird. Da die ursprüngliche Länge des Intervalls 1 beträgt, bleibt nach der n-ten Operation die Gesamtlänge aller übrigen Abschnitte nur noch (2/3)^n. Wenn n gegen unendlich geht, dann geht (2/3)^n gegen 0, und die „Gesamtlänge“ der Cantor-Menge ist 0. Dies zeigt jedoch nur, dass die Cantor-Menge kein Intervall enthält, und nicht, dass die Cantor-Menge keine Zahlen enthält. Da bei der Erzeugung der Cantor-Menge jedes Mal ein offenes Intervall entfernt wird, bleiben die Endpunkte aller übrigen Abschnitte erhalten, so dass Zahlen wie 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9 und 8/9 in der Cantor-Menge erhalten bleiben. Tatsächlich bleiben alle Brüche der Form (1/3)^n erhalten, so dass es unendlich viele Zahlen in der Cantor-Menge gibt! Noch interessanter ist, dass die Cantor-Menge auch viele „Endwerte“ außerhalb der Zahlen enthält. Obwohl es unendlich viele Zahlen in der Cantor-Menge gibt, scheint es intuitiv, dass es viel weniger sein sollten als die Realzahlen im Intervall 0, 1. Überraschenderweise ist dies jedoch nicht der Fall, und tatsächlich gibt es genauso viele Zahlen in der Cantor-Menge wie im Intervall 0, 1! Sie ist sogar viel größer als die Anzahl der rationalen Zahlen, die das Intervall 0, 1 ausfüllen! Um dies zu veranschaulichen, stellen wir alle Zahlen zwischen 0 und 1 als dreistellige Dezimalzahl dar. Wenn wir diese Zahlen gleichmäßig in drei Abschnitte aufteilen, sind sie genau die Zahlen zwischen 0 und 0,1 sowie zwischen 0,1 und 0,2 und zwischen 0,2 und 1. Das entfernte mittlere Abschnitt enthält genau die Zahlen, deren erste Dezimalstelle 1 ist, und die übrigen Zahlen sind solche, deren erste Dezimalstelle 0 oder 2 ist. Im nächsten Schritt entfernen wir jeweils ein Drittel der mittleren Abschnitte, also alle Zahlen mit der zweiten Dezimalstelle 1, und die übrigen Zahlen sind solche mit der zweiten Dezimalstelle 0 oder 2. Wir tun dies fortwährend, und schließlich bleiben in der Cantor-Menge genau diejenigen dreistelligen Dezimalzahlen übrig, die nur aus 0 und 2 bestehen! Zum Beispiel ist die dreistellige Dezimalzahl für 1/4 0,020202…, also gehört 1/4 zur Cantor-Menge. Außerdem gehören, obwohl 1/3 als 0,1 und 1/9 als 0,01 geschrieben werden, auch diese beiden Zahlen zur Cantor-Menge, da sie als endliche Wiederholungen von 0,999… = 1 geschrieben werden können. Anschließend können wir die Zahlen in der Cantor-Menge einfach mit allen Realzahlen im Intervall 0, 1 in Beziehung setzen. Für jede Zahl in der Cantor-Menge wandeln wir sie zunächst in eine dreistellige Dezimalzahl um, ersetzen alle Ziffern 2 durch 1, wandeln die neue Dezimalzahl in eine binäre Zahl um und wandeln sie zurück in eine Dezimalzahl, und sie ist eine Realzahl im Intervall 0, 1. Ebenso ist für jede Realzahl im Intervall 0, 1 zuerst die binäre Zahl zu schreiben, alle 1 durch 2 zu ersetzen und sie als dreistellige Dezimalzahl zu betrachten.Eine ternäre Dezimalzahl wird zu einer Zahl in der Kantor-Menge. Daher besteht eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen den Zahlen in der Kantor-Menge und den reellen Zahlen im gesamten Intervall 0, 1. Es gibt genauso viele Zahlen in den beiden Mengen!
Die „Gesamtlänge“ der Kantor-Menge beträgt 0, aber die Anzahl der darin enthaltenen Elemente ist genauso groß wie die Anzahl der reellen Zahlen. Diese merkwürdigen Eigenschaften zogen schnell die Aufmerksamkeit von Mathematikern auf sich. Die Kantor-Menge spielt eine wichtige Rolle in verschiedenen Bereichen der Mathematik, darunter Mengenlehre, Topologie, Maßtheorie, reelle Analysis und Fraktaltheorie.