Die rationalen und irrationalen Zahlen bilden zusammen die reellen Zahlen. Nachdem Cantor festgestellt hatte, dass es genauso viele rationale Zahlen wie positive ganze Zahlen geben kann, die Teil davon sind, stellte er sich ganz natürlich die Frage: Können es auch genauso viele reelle Zahlen geben wie irrationale Zahlen, die Teil davon sind? Nach eingehender Untersuchung kam Cantor zu einem negativen Ergebnis. Um Cantors Schlussfolgerung zu veranschaulichen, beachten wir zunächst eine Tatsache: Eine vom Punkt A ausgehende Strahlenlinie führt zu einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten auf dem Halbkreis und den Punkten auf der reellen Zahlenachse, während eine senkrechte Linie eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten im Intervall (0,1) und den Punkten auf dem Halbkreis herstellt. Daher können wir feststellen, dass es genauso viele reelle Zahlen im Intervall (0,1) gibt wie alle reellen Zahlen.
Jetzt muss Cantor nur noch beweisen, dass die reellen Zahlen im Intervall (0,1) nicht wie die rationalen Zahlen in einer unendlichen Folge angeordnet werden können. Zu diesem Zweck führte er einen sehr schlauen Beweis mittels Widerspruchsbeweis durch: Angenommen, die reellen Zahlen im Intervall (0,1) könnten in einer Folge angeordnet werden, nämlich x₁, x₂, x₃, ... Wir wissen, dass jeder reelle Zahl im Intervall (0,1) eindeutig als eine unendliche Dezimalzahl dargestellt werden kann, und zwar xᵢ=0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃... (i=1,2,...).
Nun konstruieren wir eine neue Zahl x=0.b₁b₂b₃..., so dass b₁≠a₁₁, b₂≠a₂₂, b₃≠a₃₃, ... und so weiter. Diese so konstruierte Zahl x ist natürlich eine reelle Zahl im Intervall (0,1), aber sie kann nicht Teil der oben genannten Folge x₁, x₂, x₃, ... sein.
Dies zeigt, dass, egal wie die reellen Zahlen im Intervall (0,1) angeordnet werden, es immer mindestens eine Zahl gibt, die nicht in diese Folge aufgenommen werden kann. Daher, obwohl es unendlich viele reelle Zahlen im Intervall (0,1) und unendlich viele rationale Zahlen gibt, ist diese Unendlichkeit (die Unendlichkeit aller reellen Zahlen) größer als die Unendlichkeit aller rationalen Zahlen (die Unendlichkeit aller natürlichen Zahlen). Da die reellen Zahlen ohne die rationalen Zahlen irrationale Zahlen sind, ist es offensichtlich, dass auch die Menge der irrationalen Zahlen nicht in einer Folge angeordnet werden kann (da zwei Folgen immer zu einer Folge zusammengefasst werden können), was zeigt, dass es mehr irrationale als rationale Zahlen gibt.