Seit der Einführung der imaginären Einheit i = √(-1) haben Mathematiker zunehmend komplexe Zahlen zur Lösung mathematischer Probleme eingesetzt. Trotzdem erkannten Mathematiker ursprünglich die Komplexen Zahlen nicht als reale Zahlen an und betrachteten sie als etwas Illusorisches, eine erfundene Zahl. Der große Mathematiker Euler leistete einen wichtigen Beitrag zur Erforschung der komplexen Zahlen. Er führte den Namen „Imaginär“ und das Symbol i für die imaginäre Einheit ein und entdeckte die berühmte Eulersche Formel e^iθ = cosθ + isinθ. Allerdings erkannte auch Euler die Realität der komplexen Zahlen nicht an. Er sagte: „Alle Zahlen der Form a + bi sind unmöglich, da sie die Quadratwurzel einer negativen Zahl darstellen. Für solche Zahlen können wir nur sagen, dass sie weder nichts sind, noch mehr als nichts enthalten, noch weniger als nichts. Sie sind reine Fiktion.“ Diese Situation dauerte fast 200 Jahre an, bis sie im 19. Jahrhundert mit der Zeit von Gauss beendet wurde.
Wir wissen, dass reelle Zahlen durch einen Punkt auf der Zahlengeraden dargestellt werden können. Wie sollen wir dann die imaginäre Zahl i darstellen? Zu dieser Zeit beobachteten europäische Mathematiker wie Wessel, Argand und Gauss, dass die Multiplikation einer Zahl mit -1 ihrem Gegenpart entspricht, d.h. ein Drehung von 180° um den Ursprung O. Eine weitere Multiplikation mit -1 entspricht einer weiteren Drehung von 180° zurück zum Ursprung. Nun ist i^2 = -1, was bedeutet, dass die Multiplikation einer Zahl mit i zweimal eine Drehung von 180° um den Ursprung entspricht. Daher sollte eine Multiplikation mit i eine Drehung von 90° (gegen den Uhrzeigersinn) entsprechen. Daraus kann man sich vorstellen, dass alle reinen imaginären Zahlen auf einer geraden Linie liegen sollten, die durch den Ursprung verläuft und senkrecht zur Zahlengeraden steht, nämlich die imaginäre Achse. Die ursprüngliche reelle Achse wird als reale Achse bezeichnet, und die reale und imaginäre Achse bilden ein rechtwinkliges kartesisches Koordinatensystem, während die komplexe Zahl a + bi einen Punkt (a,b) in diesem rechtwinkligen Koordinatensystem darstellt. Die Ebene, auf der komplexe Zahlen dargestellt werden, wird als komplexe Ebene bezeichnet.
Diese Methode verleiht den komplexen Zahlen und ihren Additions-, Subtraktions-, Multiplikations- und Divisionsoperationen eine deutliche geometrische Bedeutung. Damit erhielten die komplexen Zahlen ein reales Modell, und die Menschen gewannen ein Gefühl für ihre Realität. Die ursprünglich illusorischen komplexen Zahlen wurden zu etwas Realem. Das Modell von Gauss und anderen machte die komplexen Zahlen nicht nur real, sondern löste auch Zweifel auf und verband die komplexen Zahlen mit der euklidischen Geometrie und der Vektorrechnung, so dass viele mathematische und physikalische Probleme auf der Ebene angewendet werden konnten. Im 19. Jahrhundert entwickelte sich auf dieser Grundlage ein Fachgebiet – die Funktionentheorie der komplexen Variablen, eine Erweiterung der Integralrechnung auf Funktionen komplexer Variablen. Komplexe Funktionen finden wichtige Anwendungen in der Fluidmechanik und der Elastizitätstheorie, z. B. bei der Konformen Abbildung im Flügeldesign. Noch überraschender ist, dass komplexe Funktionen zur Untersuchung der Verteilung von Primzahlen verwendet und zu einem wichtigen Zweig der modernen Mathematik – der analytischen Zahlentheorie – entwickelt wurden. In der modernen Mathematik, sowohl in der reinen als auch in der angewandten Mathematik, sind komplexe Zahlen unverzichtbar. Was die Menschen in der Vergangenheit nie erwartet hätten, ist, dass diese „reine Fiktion“ heute so mächtig ist.