Wie wir alle wissen, werden Zahlen wie a + b i als komplexe Zahlen bezeichnet, wobei a und b reelle Zahlen sind, und i repräsentiert eine Zahl, die sich stark von den realen Zahlen unterscheidet, die wir normalerweise kennen, und es scheint, dass wir solche Zahlen in unserer realen Welt nicht antreffen. Warum müssen wir solche Zahlen überhaupt einführen? Der Mathematikunterricht in der Schule hat uns bereits gezeigt, dass wenn wir eine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 lösen, wenn ∆ = b 2 - 4ac < 0, die Gleichung zwei konjugierte komplexe Wurzeln hat. Richtig, die Einführung komplexer Zahlen ermöglicht es auch, wenn ∆ < 0, Wurzeln zu finden, aber in diesem Fall ist es möglicherweise realistischer, wenn die Gleichung im Bereich der reellen Zahlen keine Wurzeln hat, und es scheint nicht notwendig zu sein, künstlich unsichtbare komplexe Wurzeln einzuführen.
In der Geschichte wurden komplexe Zahlen im 16. Jahrhundert vom italienischen Mathematiker Cardano eingeführt. Sein Hauptziel bei der Einführung komplexer Zahlen war die Lösung von kubischen algebraischen Gleichungen. Betrachten wir dazu ein Beispiel und betrachten die kubische Gleichung x 3 - 7x + 6 = 0. Es lässt sich leicht nachweisen, dass diese Gleichung drei reelle Wurzeln hat: x = 1, x = 2 und x = -3. Da eine kubische Gleichung höchstens drei verschiedene Wurzeln hat, sind diese drei Wurzeln die einzigen Wurzeln der Gleichung. Cardano kannte bereits die Formel zur Wurzelberechnung einer kubischen Gleichung der Form x 3 + px + q = 0, wo p = -7 und q = 6. In diesem Fall muss man also mit solchen Zahlen arbeiten, um drei reelle Wurzeln zu erhalten. Cardano bemerkte, dass wenn ∆ < 0, zur Berechnung der Wurzeln einer kubischen Gleichung (auch wenn es reelle Wurzeln sind) eine Operation mit negativen Quadratwurzeln unvermeidbar ist, und man muss die neuen Zahlen, die durch die negativen Quadratwurzeln entstehen, verarbeiten, wie zum Beispiel die oben genannten. Cardano führte eine neue Klasse von Zahlen in die Mathematik ein, die wir heute als komplexe Zahlen bezeichnen. Damals schrieben die Leute solche Zahlen einheitlich in der Form, wobei a und b reelle Zahlen sind. Später schlug Euler vor, i zu verwenden, und so entstand die heutige Darstellung von komplexen Zahlen: a + b i.
Seit der Einführung der komplexen Zahlen in die Mathematik sind sie nicht nur "geblieben", sondern ihre Anwendung hat sich auch ständig erweitert. Komplexe Zahlen werden nicht nur zur Lösung von kubischen oder vierten-Grad-Gleichungen, sondern auch zur Berechnung von Trigonometriefunktionen verwendet. Ein Beispiel hierfür ist die berühmte Desargues-Formel. Wenn wir n = 2 und n = 3 nehmen, erhalten wir die Sinus- und Kosinus-Formeln für doppelte und dreifache Winkel, und daraus können auch n-fache Winkel-Formeln abgeleitet werden. Es gibt viele Probleme im Bereich der reellen Zahlen, die auf einfache oder clevere Weise durch den Bereich der komplexen Zahlen gelöst werden können. Der französische Mathematiker Hadamard hat hierzu eine treffende Bemerkung gemacht: Der kürzeste Weg zwischen zwei Wahrheiten im Bereich der reellen Zahlen führt durch den Bereich der komplexen Zahlen.