An einem Sommertag im Jahr 1900 versammelten sich über 200 der bedeutendsten Mathematiker in Paris, Frankreich, zu einem internationalen Mathematikerkongress. Auf der Konferenz hielt der berühmte deutsche Mathematiker Hilbert einen wichtigen Vortrag mit dem Titel „Mathematische Probleme“. In seinem Vortrag listete er eine Reihe von mathematischen Problemen auf, die seiner Meinung nach am wichtigsten waren. Diese Probleme weckten das Interesse vieler Mathematiker und hatten einen tiefgreifenden Einfluss auf die Entwicklung der Mathematik. Hundert Jahre später, im Jahr 2000, veranstalteten Mathematiker des Clay Mathematics Institute in Paris ebenfalls eine mathematische Konferenz. Dort listeten die Teilnehmer ebenfalls einige der ihrer Meinung nach wichtigsten mathematischen Probleme auf. Obwohl ihr Ansehen möglicherweise nicht mit dem von Hilbert vergleichbar ist, haben sie etwas erreicht, was Hilbert nicht erreichen konnte: Sie setzten für jedes Problem einen enormen Preis von 1 Million US-Dollar aus. Neben dem Umstand, dass beide mathematischen Konferenzen in Paris stattfanden, hatten diese beiden sich überschneidenden mathematischen Konferenzen noch eine weitere bemerkenswerte Gemeinsamkeit: Unter den aufgeführten Problemen gab es genau eines, das beide gemeinsam hatten. Dieses Problem war die Riemann-Hypothese, die 1859 von Riemann aufgestellt wurde und von vielen Mathematikern als eine der wichtigsten mathematischen Vermutungen angesehen wird.
Was ist die Riemann-Hypothese? Der Inhalt der Riemann-Hypothese kann nicht vollständig mit elementarer Mathematik beschrieben werden. Grob gesagt handelt es sich um eine Vermutung über eine komplexe Funktion namens Riemann-ζ-Funktion (eine Funktion, deren Variablen und Funktionswerte alle im komplexen Bereich liegen). Wie viele andere Funktionen auch, nimmt die Riemann-ζ-Funktion an bestimmten Punkten den Wert null an, die als Nullstellen der Riemann-ζ-Funktion bezeichnet werden. Unter diesen Nullstellen gibt es eine besonders wichtige Gruppe, die als nicht-triviale Nullstellen der Riemann-ζ-Funktion bezeichnet werden. Die Riemann-Hypothese postuliert, dass alle nicht-trivialen Nullstellen auf einer speziellen Geraden namens „Kritische Linie“ liegen, die durch den Punkt 1/2 auf der realen Achse und parallel zur imaginären Achse verläuft.
Die Riemann-Hypothese ist bis heute ungelöst (weder wurde sie bewiesen noch widerlegt). Allerdings haben Mathematiker sie sowohl aus analytischer als auch aus numerischer Sicht intensiv untersucht. Bislang ist das stärkste Ergebnis auf analytischer Seite der Nachweis, dass mindestens 40 % der nicht-trivialen Nullstellen auf der kritischen Linie liegen; das stärkste Ergebnis auf numerischer Seite ist der Nachweis, dass die ersten 100 Billionen nicht-trivialen Nullstellen alle auf der oben genannten kritischen Linie liegen.
Warum ist die Riemann-Hypothese so wichtig? Weil sie sehr schwierig ist? Natürlich ist die Riemann-Hypothese sehr schwierig, aber wenn man sie nur anhand ihrer Schwierigkeit beurteilt, sind andere berühmte mathematische Vermutungen nicht weniger schwierig. Zum Beispiel wurde die Fermat-Vermutung erst nach über 350 Jahren Anstrengungen bewiesen; die Goldbach-Vermutung wurde mehr als 100 Jahre vor der Riemann-Hypothese aufgestellt, steht aber ebenso wie die Riemann-Hypothese bis heute. Warum wird die Riemann-Hypothese als die wichtigste mathematische Vermutung bezeichnet? Der Hauptgrund ist, dass sie mit anderen mathematischen Sätzen auf vielfältige Weise verknüpft ist. Laut Statistik sind heute mehr als 1.000 mathematische Sätze von der Riemann-Hypothese (oder ihren Erweiterungen) abhängig. Dies zeigt, dass alle diese mehr als 1.000 mathematischen Sätze, sobald die Riemann-Hypothese bewiesen ist, zu Theoremen werden können; umgekehrt würden mindestens einige dieser 1.000 mathematischen Sätze unweigerlich „Opfer“ werden, wenn die Riemann-Hypothese widerlegt würde. Die Tatsache, dass eine mathematische Vermutung mit so vielen anderen mathematischen Sätzen eng verbunden ist, ist in der Mathematik einzigartig. Darüber hinaus steht die Riemann-Hypothese in engem Zusammenhang mit dem Problem der Primzahlverteilung in der Zahlentheorie, einem sehr wichtigen traditionellen Zweig der Mathematik, den der deutsche Mathematiker Gauss als „Königin der Mathematik“ bezeichnete. Das Problem der Primzahlverteilung ist wiederum ein sehr wichtiges traditionelles Thema in der Zahlentheorie, das seit langem die Aufmerksamkeit vieler Mathematiker auf sich zieht. Dies hat ebenfalls dazu beigetragen, die Bedeutung der Riemann-Hypothese in den Augen der Mathematiker zu erhöhen.Die Bedeutung und Wichtigkeit der Riemannschen Vermutung für die Mathematik können nicht genug betont werden. Darüber hinaus gibt es einen weiteren Maßstab für die Bedeutung einer mathematischen Vermutung, nämlich ob im Laufe der Erforschung dieser Vermutung Methoden und Ergebnisse entstehen, die zu weiteren Beiträgen und Einflüssen auf andere Bereiche der Mathematik führen. Tatsächlich führte eines der frühen Ergebnisse, die Mathematiker bei der Erforschung der Riemannschen Vermutung erzielten, direkt zum Beweis eines wichtigen Satzes über die Verteilung von Primzahlen – der Primzahlentheorie. Schließlich, und am überraschendsten, geht die Bedeutung der Riemannschen Vermutung sogar über den Bereich der reinen Mathematik hinaus und „dringt“ in das Gebiet der Physik ein. In den frühen 1970er Jahren wurde festgestellt, dass bestimmte Forschungen im Zusammenhang mit der Riemannschen Vermutung eine deutliche Verbindung zu einigen sehr komplexen physikalischen Phänomenen aufweisen. Der Grund für diese Verbindung ist bis heute ein Rätsel, aber ihre Existenz erhöht zweifellos die Bedeutung der Riemannschen Vermutung weiter.