全ての数列の中でも、フィボナッチ数列は最も有名なものです。1202年、イタリアのピサ出身の数学者レオナルド・フィボナッチが『算盘書』を完成し、その中で興味深い「ウサギの繁殖問題」を研究し、フィボナッチ数列が導き出されました。
ウサギの繁殖問題は、実際にフィボナッチが提唱した数学モデルです。仮に一対の大ウサギが1年に一対の小ウサギを産み、すべてのウサギが不死身であるとした場合、これらのウサギはどのように増殖していくのでしょうか。
最初の年には1対の小ウサギしかいません。2年目には、小ウサギが大ウサギになり、ウサギの数は1対になります。3年目には、大ウサギが1対の小ウサギを産み、ウサギの数は2対になります。4年目には、大ウサギが1対の小ウサギを産み、元の小ウサギが大ウサギになり、ウサギの数は3対になります。
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ウサギの繁殖規則をまとめると、1年目のウサギの数=前年のウサギの数+その年に生まれたウサギの数=前年のウサギの数+前年の大ウサギの数=前年のウサギの数+前々年のウサギの数となります。
つまり、第n年のウサギの数をFnとすると、F1=F2=1となり、n≥3の場合、Fn=F(n-1)+F(n-2)となり、次のような数列が得られます。1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987、...
フィボナッチ数列は非常に興味深く、実用性の高い有名な数列で、多くの素晴らしい性質があり、数学者たちは今でも研究を続けています。以下に、いくつかの例を簡単に紹介します。
フィボナッチ数列の最初の6つの数1、1、2、3、5、8でできた6つの正方形を組み合わせると、8と13の長さの長方形ができます。一般に、フィボナッチ数列の最初のn個の数でできたn個の正方形を組み合わせると、長辺がFnとF(n+1)の長方形ができます。実際、数学的归纳法で次の性質を証明できます。
フィボナッチ数列には通项公式もあります。そこでは、黄金比が有名です。
一連の自然数で構成される数列の通項公式が無理数φで表されるというのは、とても神秘的ではないでしょうか。18世紀中期には、有名な数学者ダモーとエウラがすでにこの公式を知っていました。19世紀中期には、フランスの数学者ジャック・フィリップ・ピネがこの公式を再発見しました。
さらに、nが大きくなるほど、フィボナッチ数列の連続2つの項の比F(n+1)/Fnは黄金比φに近づきます。
多くの数学的な素晴らしい性質のほかに、科学者たちは植物界でもフィボナッチ数列が適用されていることに気づきました。例えば、枝の分岐数、花びらの数、果実の粒数、果皮のスパイラルパターンなどです。美しいひまわりでは、花冠には左と右のスパイラル線がそれぞれ1本ずつあり、合計で2本です。松果の鱗片もスパイラル状に配列されており、小さな松果では5列または13列が右または左に配列されています。また、多くの花の花びら数は3、5、8、13、21などです。興味があれば、いくつかの花を数えてみてください。
植物の葉は茎に沿ってらせん状に配列されています。1611年、ドイツの天文学者ケプラーは、枝や茎の周りにある葉がらせん状に配列されていることを発見しました。同じ方向にある最も近い2枚の葉を、それぞれ周期の開始と終了と見なします。この周期には、枝や茎に沿って何度も繰り返される多くの葉が含まれる可能性があります。周期内の葉の総数をm、周期内の葉が繰り返される回数をnとすると、mとnはいずれもフィボナッチ数列に関連付けられた数です。例えば、ウルムのnは1で、mは2です。ブナのnは1で、mは3です。桜や橡の木では、nは2で、mは5です（つまり、各周期には5枚の葉があり、2回繰り返して周期が終わります）。リンゴの木では、nは3で、mは8です。柳の木では、nは5で、mは13です。これらの数はすべてフィボナッチ数列の一部であり、本当に素晴らしいことです！
フィボナッチ数列に関する話はまだまだたくさんあります。特に、フィボナッチ数列と黄金比率には密接な関係があります。