ほとんどの人にとって、「全体は部分より大きい」というのは当たり前の事実です。ギリシャの数学者ユークリッドはこのことを《幾何学》的に記述しています。しかし、もし誰かがあなたに、全体とその部分の数が同じかもしれないと言ったら、あなたは驚かないでしょうか？
この問題を説明するために、まず「2つの量が同じである」とはどういうことかを考えてみましょう。例えば、演奏会の会場で満席で、誰も立っていないとしたら、席の数と人間の数を数えなくても、それらが同じであることがわかります。これは、席と人間が一対一で対応しているからです。抽象的に言えば、2つの集合が一対一で対応しているなら、その要素の数は同じです。明らかに、有限集合ではその一部と一対一で対応することはできません。では無限集合はどうでしょうか？
1638年、イタリアの物理学者ガリレオは自分の著書の中で次のような驚くべき事実を記述しています。すべての正の全数はその平方数と一対一で対応しており、したがって平方数は正の全数と同じくらい多くあるということです。しかし、平方数は正の全数の一部に過ぎないので、正の全数はその一部と同じくらい多くあるのです。ガリレオの発見は当時あまり注目されませんでした。200年後、チェコの数学者ボルツァーノが同じ事実を指摘しましたが、それでもあまり注目されませんでした。1872年以降、ドイツの数学者カントールが無限集合について本格的に研究を始めました。カントールは、集合がその真の部分集合と同じ大きさであることが無限集合の本質的な特性であると確信していました。さらに、彼は無限集合について予想もしなかった事実を発見しました。