学校で習った代数方程式の解法では、主にいわゆる代数方程式（例えば、3x-1=0、x2-2x-8=0）を解くことになりました。これらの方程式の主な特徴は、未知数を含む項すべてが正の全数のべき乗で構成されていることです。その他にも、項の数が有限であり、未知数の係数が全数であることが挙げられます。ここでは、実数が全数の代数方程式の根であるかどうかを検証しましょう。便宜上、全数の代数方程式を単に代数方程式と呼びましょう。まず、全ての有理数q=m/nは代数方程式nxm=0の根であることは明らかです（ここでm,nは全数です）。次に、二次方程式を学んだことのある人は知っているように、代数方程式の根は必ずしも有理数ではないのです。例えば、x2-2=0の2つの根は無理数です。したがって、全数の代数方程式の根は有理数である可能性と無理数である可能性の両方があり、少なくとも表面上はすべての実数を表す可能性があります。
しかし、潜在的な可能性は必ずしも現実にはならないのです。この問いに対する否定的な答えと証明を最初に提示したのは、フランスの数学者ジュール・リュヴィルでした。彼は、特定の実数が全数の代数方程式の根ではないことを証明し、さらにそうした実数の具体的な例を構築し、最も雄弁に否定的な答えを示しました。リュヴィルが最初に構築した非代数方程式の根の実数は、分数列で表現されていましたが、後に彼はこれらの実数を十進数で表現しました。リュヴィルの貢献を記念して、数学者たちはリュヴィルが構築したこの種の数をリュヴィル数と呼んでいます。
現在、我々は知っているように、自然対数の底e、πなどの多くの重要な実数は、全数の代数方程式の根ではないのです。数学者たちは、全数の代数方程式の根で表すことができる数を代数数と呼び、そうではない数を超越数と呼んでいます。実数には代数数と超越数の両方が含まれています。有理数とπは代数数の例であり、eは超越数の例です。私たちの問題は、この新しい用語で再表現すると次のようになります：実数はすべて代数数でしょうか？上記の答えは否定的です。
しかし、答えが明らかになったとしても、具体的な数が超越数であることを証明するのはしばしば容易ではありません。例えば、2つの最も重要な定数eとπが超越数であることを証明するのは、数学者にとって大きな課題でした。1873年、フランスの数学者エルミットはeが超越数であることを証明しました。πが超越数であるかどうかを判断するのはさらに難しく、1882年までドイツの数学者リンデマンはπも超越数であることを証明しませんでした。そして、e+πやe-πのような単純な組み合わせが超越数であるかどうかは、今日でもまだ謎です。
次に、代数数が多いか超越数が多いかという疑問を考えてみましょう。超越数の構築と証明が非常に難しいことから、多くの読者は超越数はごく少数だと推測するかもしれません。しかし、実際はその逆です。1874年、ドイツの数学者カントールは、超越数が代数数よりもはるかに多いことを証明しました。実際、彼は実数のほぼすべてが超越数であることを証明しました——つまり、実数からランダムに選んだものが代数数である確率は0です！
超越数の存在は、抽象的な分類の意味を超えて、いくつもの具体的な数学問題を解決するうえで役立ちます。例えば、幾何学で使われる定規とコンパスで作ることができる線分の長さは、証明されたところによれば、全数の代数方程式（例えば、与えられた単位長）によってのみ表すことができるのです。したがって、πが超越数であるという、当初は抽象的な分類の意味しかない結果は、直接的に証明されています。数学者たちを2,300年以上にわたって悩ませてきた「三つの幾何学の難題」うちの1つである「円を正方形に変える」ことは、不可能なのです。