紀元前6世紀のある日、ギリシャの数学者ピタゴラスが鍛冶屋に行ったとき、ハンマーが鉄を打つ音が美しいハーモニーを奏でていました。そこで、ピタゴラスはハンマーを分析し、互いに調和するハンマーには単純な数学的関係があることに気づきました。すなわち、それらのハンマーの質量は互いに単純な比率で関係していたのです。具体的には、ハンマーの重さの1/2、1/3、1/4のハンマーが調和の音を奏でることができました。一方で、他のハンマーと一緒に打つと常にノイズが発生するハンマーは、その重さと他のハンマーの重さの間にこのような単純な整数比はありませんでした。ピタゴラスはギターの弦でこの実験を繰り返し、同じ結果を得ました。すなわち、弦の長さが単純な整数の比率であるとき、弦はより美しい音を奏でることができました。調和の音は整数の比率によって決まっているのです！この発見はピタゴラスに大きなインスピレーションを与えました。後に彼は、惑星の運動も整数の比率によって決まっていると主張しました。ピタゴラスはこれらの発見に基づいて、万物は数であり、全世界は整数または整数の比率で説明できると宣言しました。これが彼と彼のピタゴラス学派の信条となりました。この概念を幾何学的に表すと、任意の2つの線段の長さは整数または分数の比率であるということです。ちなみに、この概念を理解しやすく説明しましょう。2つの線段の長さがそれぞれaとbの場合、aをdの整数倍に分割することができれば、a=ndとなります。同様に、bをdの別の整数倍に分割することができれば、b=mdとなります。この場合、線段aとbは可公度の関係にあります（dは両者の共通の測定単位です）。実際、私たちに理解しやすい言葉で言えば、任意の2つの線段の長さの比率は整数または分数であるということです。
この非常に常識的で直観的な結論は、当時の古ギリシャ人にとって疑いの余地なく受け入れられていたようです。しかし、ピタゴラスが勾股定理を証明した後、状況が変わりました。ピタゴラスの弟子ヒパソスは、師の有名な成果を研究しているときに、次のような疑問を持ちました。正方形の対角線と辺の2つの線段は可公度の関係にあるのでしょうか？ヒパソスは入念な考慮の末、意外にもこの2つの線段には共通の測定単位がないことを発見しました。つまり、正方形の辺と対角線は可公度ではない！または、正方形の対角線と辺の比率（つまり、私たちがよく知っている ）は整数でも分数でもなく、当時の人々にはまったく理解できない全く新しい数でした。この発見はピタゴラスとその学派にとって致命的なものでした。伝説によれば、ヒパソスはこの発見を公開したために、ピタゴラスの信者たちによって海に投げ込まれて溺死させられたそうです。
ヒパソス以降、多くの のような数が発見されました。後にこのような数は「無理数」と総称され、対照的に、人々が受け入れていた数（整数または整数の比率）は「有理数」と呼ばれていました。しかし、「有理」および「無理」という用語は、古ギリシャ人にとっては「可比」および「不可比」を意味していました。後に翻訳の過程で、「可比」という意味に加えて、「有理（合理的）」および「無理（非合理的）」という意味が付け加えられました。その後、中国では翻訳時に「有理数」と「無理数」と呼ばれるようになり、その本来の意味は「可比数」と「不可比数」であることはほとんど知られていませんでした。