なぜカントール集合内の数は実数と同じくらい多いのですか？

1883年、ドイツの数学者カントールは、非常に奇妙な集合を人々に示しました。0から1の間にあるすべての実数からなる区間0,1を考えて、それを3つに分け、中央の開区間(1/3,2/3)を取り除きます。その結果、残りの集合は2つの残余区間の集合になります。それぞれの区間を再び3つに分け、中央の開区間を取り除くと、最終的に4つのさらに小さな残余区間が得られます。このプロセスを繰り返し、各区間の中央1/3を取り除くと、最終的に残る数の集合がカントール集合と呼ばれます。
容易にわかるように、各区間の中央部分を取り除いた後、残りの区間の総長は元の2/3になります。初期の区間の総長が1であるため、n回目の操作後、残りの区間の総長は(2/3)^nになります。無限大に近づくと、(2/3)^nは0に近づき、カントール集合の「総長」は0になります。
しかし、これはカントール集合に区間が含まれていないことを示すだけで、カントール集合に数が存在しないことを示すわけではありません。カントール集合の生成過程では、各区間の中央部分を開区間として取り除くため、残りの区間の端点はすべて取り除かれます。そのため、1/3、2/3、1/9、2/9、7/9、8/9などの数はすべてカントール集合に残ります。実際、(1/3)^nのような分数すべてがカントール集合に含まれています！さらに興味深いことに、カントール集合には「端点値」以外の数も含まれています。
カントール集合に含まれる数は無限に多いように思えますが、直観的には0,1区間の実数よりもはるかに少ないように思えます。しかし、驚くべきことに、これは間違っています。実際、カントール集合の数は0,1区間の実数と同じくらい多くです！これは、0,1区間に密集している有理数よりもはるかに多くです！
これを示すために、0から1の間のすべての数を三進数で表現します。これらの数を3等分に分けると、それぞれ0から0.1の間、0.1から0.2の間、0.2から1の間にある数になります。中央の部分を取り除くと、小数点の1桁目が1の数が残り、残りの数は小数点の1桁目が0または2の数になります。次のステップでは、中央の1/3を取り除き、すべての小数点の2桁目が1の数を取り除き、残りの数は小数点の2桁目が0または2の数になります。このプロセスを繰り返し、最終的にカントール集合に残る数は、すべて0と2で構成される三進数になります！例えば1/4の三進数表現は0.020202…であることがわかります。したがって、1/4は確かにカントール集合に属しています。また、1/3の三進数は0.1、1/9の三進数は0.01ですが、これらもそれぞれ無限ループの小数0.02222…と0.002222…に書き換えることができます(0.999…=1と同じ理由です)ので、これらもカントール集合に含まれています。
次に、カントール集合の数と0,1区間のすべての実数を対応づけることができます。カントール集合の任意の数を取り、まず三進数に変換し、小数部分のすべての2を1に変え、それを二進数に変換し、再び十進数に変換すると、それは0,1区間の何らかの実数になります。同様に、0,1区間のすべての実数を取り、二進数に変換し、すべての1を2に変え、それを三進数と見なすと、それはカントール集合の何らかの数になります。これは三進数の小数なので、カントール集合の要素となります。したがって、カントール集合の要素と0, 1区間の実数との間には一対一の対応関係があり、両集合の要素数は同じです！ カントール集合の「総長」は0ですが、その要素の数は実数区間と同じくらい多く、このような奇妙な性質が数学者の注目を集めました。集合論、トポロジー、測度論、実解析、フラクタル理論など、さまざまな数学分野でカントール集合は重要な役割を果たしています。