実数は有理数と無理数で構成されます。カントールは、有理数がその一部である正の全数と同じくらい多くあることを発見した後、次のような疑問を持ち始めました。実数はその一部である有理数と同じくらい多くあるのでしょうか？深い研究の末、カントールは否定的な結論に至った。カントールの結論を説明するために、まず一点に注意しましょう。Aから放射される線は、半円の点と実数軸の点を一対一対応にし、垂線は（0、1）区間の点と半円の点を一対一対応にします。したがって、（0、1）区間の実数は全ての実数と同じくらい多いと断言できます。
今、カントールは（0、1）区間の実数が有理数のように無限の列に並べることはできないことを証明する必要があります。彼は反証法を使って非常に巧妙な証明を示しました。仮に（0、1）区間の実数が一列に並べることができるとしましょう。それらはx₁、x₂、x₃、…と呼ばれます。
次に、新しい数x=0.b₁b₂b₃…を構築しましょう。ここで、b₁≠a₁₁、b₂≠a₂2、b₃≠a₃ 3、…とします。
このように構築された数xは確かに（0、1）区間の実数ですが、上記の列x₁、x₂、x₃、…のいずれの数とも一致しないでしょう。
これは、（0、1）区間の実数をどのように並べても、少なくとも1つの数がこの列に入れられないことを示しています。したがって、（0、1）区間の実数と有理数はいずれも無限ですが、有理数の無限（すなわち全ての自然数の無限）よりも大きな無限です。実数から有理数を取り除くと無理数が残ります。明らかに、無理数も有理数よりも多いのです。