なぜ分数は有限の小数または無限の繰り返し小数に変換できるのか？

分数（整数を含む）は有理数であり、小数の観点から見ると、有限小数または無限ループ小数になります。つまり、分数と有限小数、または無限ループ小数の間には、互いに変換できます。なぜでしょうか？分数の値は、pでqを割った値です。pでqを割ると、余数は0、1、2、...、p-1のいずれかになる可能性があります。余数が0の場合、商は有限小数になります。余数が常に0でない場合、余数はp-1通りになるため、抽出則により、商の小数点後p桁の余数のうち2桁が重複するはずです。したがって、商は無限ループ小数になるはずで、その最初の「繰り返しパターン」は必ず小数点後のp桁で始まるはずです。したがって、分数は有限小数または無限ループ小数に変換できます。
逆に、有限小数または無限ループ小数を分数に変換することもできます。有限小数を分数に変換するのは簡単です。n桁の小数を持つ有理数は、10^n倍に拡大してから10^nで割ればよいのです。例えば、無限ループ小数の場合、まず小数を10^(n+m)倍と10^n倍に拡大する必要があります。ここで、nは小数の非繰り返し部分の桁数、mは繰り返しパターンの桁数です。拡大された2つの数の小数部分は完全に一致し、それらを減算すると整数になります。例えば、a=0.24126126126...の場合、最初の2桁24は非繰り返し部分で、繰り返しパターンは126で3桁です。100000a=24126.126126...、100a=24.126126126...と計算すると、(100000a-100a)=24126-24=24102になります。これにより、無限ループ小数aを分数に変換できました。