ご存知の通り、数直線上に正の全数を表す点は等間隔で配置されており、どの2つの有理数の間には平均などの別の有理数を見つけることができます。これは、有理数の方が正の全数よりもはるかに多いことを示しているようですが、実際には有理数と正の全数の数は同じです。つまり、すべての有理数は正の全数と一対一に対応するのです。
この事実は1873年にカントールによって発見されました。彼は最初にすべての正の有理数を考慮し、以下に示すように配列すると、すべての正の有理数と正の全数を一対一に対応させることができます。明らかに、すべての正の有理数はこの配列に含まれています。矢印の示すように順に並べ替え、すでに出現した数を削除すると、すべての正の有理数の無限の列が得られます。したがって、すべての有理数は無限の列として配置され、正の全数と有理数の集合間に一対一の対応が確立されているため、有理数と正の全数の数は同じなのです。