自然対数の底数e=2.718281828…は数学における重要な定数です。なぜこの定数が導入されたのでしょうか。どのような重要な応用があるのでしょうか。詳しく見ていきましょう。
まず、理想的な複利問題を考えてみましょう。1年間の利率が1の銀行を想定しましょう。年初に1元を預けた顧客は、年末までに本金と利息の合計が1+1=2元になります。もし銀行がより短い期間の預金にも同じ利率を適用するとしたら、利率は1年間の預金期間に応じて割り引きになるでしょう。例えば、半年間の利率は1/2、3ヶ月間の利率は1/4、1ヶ月間の利率は1/12などです。この場合、顧客にはより優れた預金戦略があります。1元を半年間預け、期間終了後に利息と本金を再投資するのです。そうすると、年末までに利息と本金の合計はどのくらいになるのでしょうか。もし銀行が任意の短期の預金を許可するなら、1年後に1元を預けた場合、年末までに利息と本金の合計はどのくらいになるのでしょうか。そして、預金者は巨富になるのでしょうか？
1697年、スイスの数学者ジェイコブ・ベルヌーリがこの問題を考察しました。1年をnに分割し、n年間の複利計算を行うと、1年後の利息と本金の合計は次のようになります。ジェイコブ・ベルヌーリは、nが無限大に近づくとき、この利息と本金の合計が無限大にはならず、一定の値に収束することを証明しました。この値は2と3の間にあります。現在、この値は2.718281828…とわかっています。数学的極限の用語では、nが無限大に近づくとき、列の極限が存在することを言います。これは、顧客が預金期間をどんなに短くしても、年末までの利息と本金の合計はこの列の極限値2.718281828…を超えないことを意味しています。もし毎時複利計算を行ったら、年末までの利息と本金の合計はこの極限値になるでしょう。ただし、ここで「利率」xは正負のいずれでも、任意の非ゼロの実数である可能性があります。
上記の銀行はもちろん架空の数学モデルですが、実際の自然現象の多くがこのモデルに適合しています。もし量が一定の割合で増加（または減少）するなら、その変化は上記の指数増加（または減少）規則に従います。例えば、放射性物質の量は時間とともに減少し、音波や光波の強度は伝播距離とともに減弱し、人間のさまざまな刺激に対する反応と刺激強度の関係なども、上記の指数規則に従っています。マルサスの人口指数増加に関する結論も同じ数学モデルに基づいています。
ユーラはまた、指数関数e^xの瞬間変化率（すなわち導関数）がそれ自体であることを証明しました。例えば、速度がe^tの運動物体の加速度はe^tです。e^xのこの独特な性質により、e^xは微積分計算、微分方程式の解などの応用に特別な役割を果たし、さまざまな理論推導や工学計算に利用されています。計算の過程で、eやe^xが繰り返し登場します。
技術の進歩と数学の発展に伴い、eの用途はますます広がっています。数学のさまざまな分野でeが見られるのは重要な理由の1つは、eを底とした指数関数の独特な性質にあります。