中学校の教科書では、よく使われる対数lg xのほかに、自然対数ln xもあります。ln xはeを底にした対数を表しており、e = 2.718281828...です。なぜeを底にした対数を自然対数と呼ぶのでしょうか。現代の教科書では、対数関数は指数関数の逆関数として定義されていますが、歴史的にはそうではありませんでした。対数は1614年にスコットランドの数学者ジョン・ネイピアによって導入されました。ネイピアが発明した対数は、2つの数の乗算を加算に変換するもので、当時の天文学や航海などの科学分野で複雑な計算を大幅に簡単にするものでした。対数関数は、次の性質を満たす関数と定義されます。y = f（x）（x > 0）；f（x1x2） = f（x1） + f（x2）；f（1） = 0。
対数関数を求める過程で、次のような事実が発見されました。任意の正の定数cを取り、第一象限の双曲線y = c/xを考えてみましょう。sを任意の正数とし、阴影部分の面積をLc（s）と呼びましょう。s = 1の場合、この面積は0になります。s > 1の場合、面積は正になります。s < 1の場合、面積は負になります。この定義の下で、Lc（s）関数は対数関数になります。
ここでは、c = 1に対応する対数関数をy = L（s）と記します。当時、L（s）は自然対数と呼ばれていました。これは、対数関数Lc（s）の中で最も単純な対数関数であり、他の対数関数を表すために便利に使えるためです。実際、ネイピアが対数を導入した2年後には、すでに対数表が作成され、ネイピアの本に付録として収録されていました。しかし、当時はeという数も知られておらず、「対数関数の底」という概念もありませんでした。
18世紀にユーラーが対数関数と指数関数を関連付け、対数関数を指数関数の逆関数と見なしたとき、対数関数の底の概念が導入されました。ユーラーは、自然対数の底として知られている数がまさにeであることを発見しました。