소수 순열에서, 몇몇 인접한 소수들 사이의 차이가 2인 경우가 있습니다. 예를 들면, 3과 5, 5와 7, 11과 13과 같이요. 이러한 소수들은 트윈 프라임( twin primes)이라고 불립니다. 처음 보면 트윈 프라임이 소수 순열에 상당히 밀집되어 있는 것 같지만, 실제로는 그렇지 않습니다. 나중에 찾기가 점점 더 어려워집니다. 증명할 수 있듯이, 트윈 프라임은 소수 순열에 상당히 드물며, 그 밀도는 0입니다. 즉, 거의 모든 소수가 트윈 프라임이 아닙니다. 그럼에도 불구하고, 트윈 프라임은 간혹 나타납니다. 2011년, 200700자리의 두 트윈 프라임이 발견되었습니다: 3756801695685×2666669±1. 트윈 프라임이 끝없이 계속 나올 것처럼 보입니다. 사람들은 무한히 많은 트윈 프라임 쌍이 존재할지 추측합니다. 이 추측은 에르하르트의 수리수학 추정과 비슷하며, 아직 해결되지 않았습니다. 2013년, 미국에 거주하는 중국 수학자 장이당(Zhang Yitang)은 7×10^7을 넘지 않는 정수 n이 있어서, 소수 p와 q가 있어서 pq = n이라는 경우가 무한히 많다고 증명했습니다. 이것은 트윈 프라임 추정 이후 가장 뛰어난 연구 진전입ей.
트윈 프라임 추정은 다음과 같이 표현할 수 있습니다: 다항식 x 및 x+2가 무한히 많은 번 소수 값을 가질 수 있습니다. 다항식의 언어를 사용하면, 3트윈 프라임 추정도 제시할 수 있습니다: 다항식 x, x+2 및 x+6이 무한히 많은 번 소수 값을 가질 수 있습니다. 더 일반적으로, 영국 수학자 하드(Hardy)와 리틀우드(Littlewood)는 k개의 정수를 미리 정한 후 k개의 소수 쌍이 존재할지 추정했습니다. 물론, 위에서 언급한 모든 추정은 입증되지 않았습니다.
에르데스-투란 추정은 소수들 사이의 일부 연관성을 고려하며, 소수들 사이의 차이에 대한 특정 요구 사항(예: 트윈 프라임의 차이는 2)이 없지만, 소수의 수는 임의로 많아야 합니다. 에르데스-투란 추정은 소수 순열에 임의의 길이의 등차 부분집합이 있다고 합니다. 2004년, 陶哲轩(David Tao)과 그린(Grigory Perelman)은 방문자 이론과 분석 수학을 통합하여 이 오랜 기간 동안 미해결된 수학 문제를 해결했고, 이것은 陶哲轩이 필즈 상을 받은 주요 업적 중 하나였습니다.