소수는 무한히 많은 수인가요? 아니면 제한된 수인가요? 이것은 매우 기본적인 질문입니다. 사실, 소수는 무한히 많지만, 이는 분명하지 않습니다. 소수의 무한성에 대한 첫 번째 증명은 유클리드의 유명한 저서인 '기하학 원리'의 9번째 정리에서 나왔습니다. 유클리드는 반증법을 사용했습니다. 만약 모든 소수가 k개로 제한되어 있고, 이들을 작은 순서대로 나열한다면, p1, p2, ..., pk이라면, P = p1p2...pk + 1을 고려하면, pk > pk^이기 때문에 pk는 분명히 합수일 것입니다. 그런데, pk의 소수 인자 중 하나가 pk라면, p는 분명히 p1, p2, ..., pk중 하나일 것이고, 따라서 모든 정수 1을 나눌 수 있습니다. 이것은 모순입니다. 이를 통해 소수는 무한히 많다는 것이 입증되었습니다.
유클리드의 증명에 대한 또 다른 증명은 오일러가 제공한 것입니다. 마찬가지로 반증법을 사용하여, 우선 k개의 소수만이 있다고 가정하고, 이들을 작은 순서대로 나열하면, p1(=2), p2(=3), ..., pk로 나열할 수 있습니다. 그리고, 이 수들의 합은 분명히 유한한 정수입니다. 대수 기본 정리를 이용하면, 1보다 큰 모든 정수 n은 모두 p1, p2, ..., pk의 일부 제곱의 합으로 나타낼 수 있고, 이에 따라 위의 첫 번째 식을 모든 괄호 없이 확장할 수 있습니다. 그러나, 오일러는 이 식의 오른쪽에 있는 정수들의 역수의 합이 무한대라는 것을 이미 알고 있었고, 이는 모순입니다. 따라서, 소수는 무한히 많다는 것이 입증되었습니다.
만약 소수가 제한된 수인 경우, 수학 연구에서 많은 어려운 문제들이 더는 어려운 문제가 되지 않을 것입니다(심지어 골드바흐 추측은 더는 존재하지 않을 것입니다). 그러나, 이로 인해 수학의 매력과 연구 가치는 상당히 약해질 것입니다. 오일러의 증명은 유클리드의 증명보다 조금 더 복잡하지만, 그것은 독일 수학자 리만 에타 ζ 함수를 이용하여 소수 분포를 연구하는 데 영감을 주었습니다.
소수가 무한히 많다는 것을 입증한 후, 우리는 더 심오한 질문을 할 수 있습니다: 수직선상의 큰 수 x를 고려할 때, 이 수보다 작은 소수는 몇 개나 될까요? 18세기 말, 고스와 르장드는 모든 소수의 수는 x/lnx로 근사적으로 같다고 추측했고, x가 커질수록 이 근사값이 더 정확해진다고 했습니다. 고스의 추정은 増大するx에 대한 소수의 개수의 증가율을 제공했습니다.
이 추정을 입증하기 위해 리만은 ζ 함수 이론을 개발했습니다. 리만의 이 작업은 분명히 유클리드의 소수 무한성 증명에서 영감을 받았습니다. 리만이 제시한 방향을 따라, 100년 이상 지난 후 1896년, 프랑스 수학자 아다마와 벨기에 수학자 푸아송은 각자 증명을 제공했고, 그 이후 이 추정은 소수 정리라고 불리게 되었습니다.
리만은 ζ 함수 이론을 발전시키면서, 유명한 리만 추정을 제시했는데, 이는 지금까지도 입증되지 않았습니다. 리만 추정은 소수 분포와 밀접히 연관되어 있으며, 이의 동등한 형태 중 하나는 소수 정리가 가능한 최선의 오차 항을 가지고 있다는 것입니다.