1883년, 독일 수학자 칸토르는 매우 이상한 집합을 사람들에게 보여주었습니다. 0에서 1사이의 모든 실수로 이루어진 구간 0, 1을 세 부분으로 나누고, 중간 구간(1/3, 2/3)을 제거하면, 남은 두 구간의 합집합인 0, 1/3 ∪ 2/3, 1이 됩니다. 이후 각 구간을 세 부분으로 다시 나누고 중간 구간을 제거하면, 4개의 더 작은 남은 구간의 집합을 얻을 수 있습니다. 이후 각 구간의 중간 1/3을 계속 제거하면, 결국 남은 수들로 이루어진 집합을 칸토르 집합이라고 합니다.
쉽게 볼 수 있듯이, 각 구간의 중간 부분을 제거할 때마다 남은 구간의 총 길이는 2/3이 됩니다. 처음 구간의 총 길이는 1이었기 때문에, n번째 작업 후 남은 구간의 총 길이는 (2/3)^n이 됩니다. 무한대에서 (2/3)^n이 0에 접근하기 때문에, 칸토르 집합의 '총 길이'는 0입니다.
그러나, 이는 각 구간의 중간 부분을 제거할 때마다 남은 구간의 합집합이 원 구간의 절반이 되는 것을 의미할 뿐입니다. 원 구간의 길이는 1이었기 때문에, n번째 작업 후 남은 구간의 길이는 (2/3)^n이 됩니다. 무한대에서 (2/3)^n이 0에 접근하기 때문에, 칸토르 집합의 '총 길이'는 0입니다.
그러나, 이는 칸토르 집합 내에 인터벌이 없다는 것을 의미할 뿐입니다. 그러나 坎토르 집합을 생성하는 과정에서 각 구간마다 오른쪽 끝을 제거하기 때문에, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9와 같은 수들은 모두 кан토르 집합 내에 남아 있습니다. 사실, 모든 (1/3)^n과 같은 분수가 坎토르 집합 내에 남아 있기 때문에, 坎토르 집합 내의 수는 무한히 많습니다!
더 재미있게도, 칸토르 집합 내의 수는 원 구간 내의 실수보다 훨씬 적어 보입니다. 그러나, 놀라운 점은 이것이 사실이 아니고, 실제로 칸토르 집합 내의 수는 원 구간 내의 실수와 같습니다! 원 구간 내의 합리수보다 훨씬 많습니다!
이를 보여주기 위해, 0에서 1사이의 모든 수를 세진수로 표현하십시오. 이 수들을 세 등분하면, 0에서 0.1사이의 수, 0.1에서 0.2사이의 수, 0.2에서 1사이의 수가 됩니다. 중간 구간을 제거하면, 첫 번째 자리수가 1인 수들만 제거되고, 남은 수들은 첫 번째 자리수가 0이거나 2인 수들입니다. 다음 단계에서, 중간 1/3을 제거하면, 두 번째 자리수가 1인 수들만 제거되고, 남은 수들은 두 번째 자리수가 0이거나 2인 수들입니다... 이런 식으로 계속 하면, кан토르 집합 내에 남아있는 수들은 0과 2로만 구성된 세진수입니 매우 이상한 집합을 보여주었습니다. 1883년, 독일 수학자 칸토르는 0에서 1사이의 모든 실수로 이루어진 구간 0, 1을 세 등분하고, 가운데 있는 구간을 제거하면, 남은 두 구간의 합집합인 0, 1/3 ∪ 2/3, 1이 되는 것을 보여주었습니다.
쉽게 볼 수 있듯이, 각 구간의 중간 부분을 제거할 때마다 남은 구간의 총 길이는 2/3이 됩니다. 처음 구간의 총 길이는 1이었기 때문에, n번째 작업 후 남은 구간의 총 길이는 (2/3)^n이 됩니다. 무한대에서 (2/3)^n이 0에 접근하기 때문에, 칸토르 집합의 '총 길이'는 0입니다.
그러나, 이는 각 구간의 중간 부분을 제거할 때마다 남은 구간의 합집합이 원 구간의 절반이 되는 것을 의미할 뿐입니다. 원 구间的길이는 1이었기 때문에, n번째 작업 후 남은 구간의 길이는 (2/3)^n이 됩니다. 무한대에서 (2/3)^n이 0에 접근하기 때문에, 칸토르 집합의 '총 길이'는 0입니다.
그러나, 이는 칸토르 집합 내에 인터벌이 없다는 것을 의미합니다. 그러나, 坎토르 집합을 생성하는 과정에서 각 구간마다 오른쪽 끝을 제거하기 때문에, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9와 같은 수들은 모두 칸토르 집합 내에 남아 있습니다. 사실, 모든 (1/3)^n과 같은 분수가 칸토르 집합 내에 남아 있기 때문에, 칸토르 집합 내의 수는 무한히 많습니다!
더 재미있게도, 칸토르 집합 내의 수는 원 구간 내의 실수보다 훨씬 적어 보입니다. 그러나, 놀라운 점은 이것이 사실이 아니고, 실제로 칸토르 집합 내의 수는 원 구간 내의 실수와 같습니다! 원 구간 내의 합리수보다 훨씬 많습니다!
이를 보여주기 위해, 0에서 1사이의 모든 수를 세진수로 표현하십시오. 이 수들을 세 등분하면, 0에서 0.1사이의 수, 0.1에서 0.2사이의 수, 0.2에서 1사이의 수가 됩니다. 중간 구간을 제거하면, 첫 번째 자리수가 1인 수들만 제거되고, 남은 수들은 첫 번째 자리수가 0이거나 2인 수들입니다. 다음 단계에서, 중간 1/3을 제거하면, 두 번째 자리수가 1인 수들만 제거되고, 남은 수들은 두 번째 자리수가 0이거나 2인 수들입니다... 이런 식으로 계속 하면, 칸토르 집합 내에 남아있는 수들은 0과 2로만 구성된 세진수입니다.그것은 세진수이며, 따라서 칸토르 집합의 수이다. 따라서 칸토르 집합의 수와 0 에서 1 사이의 실수의 수 사이에는 일대일 대응관계가 있고, 두 집합의 수는 같다!
칸토르 집합의 '전체 길이'는 0이지만, 포함된 원소의 수는 실수 간격과 같다. 이러한 이상적인 특성은 수학자들의 관심을 빠르게 받았습니다. 집합론, 위상수, 측량이론, 실해석학, 프래크탈 이론 등 다양한 수학 분야에서 칸토르 집합은 중요한 역할을 하고 있습니다.