실수는 합당수와 비합당수로 구성되어 있습니다. 칸토르는 합당수가 그것의 일부인 양수와 같이 많을 수 있다는 것을 발견한 후, 실수가 그것의 일부인 합당수처럼 많을 수 있는지 여부에 대해 자연스럽게 질문을 하였습니다. 그는 심층적인 연구를 통해 부정적인 결론을 내렸습니다. 칸토르의 결론을 설명하기 위해 우리는 먼저 한 사실을 주목하십시오: 점 A에서 방출된 선은 반원의 점과 실수 축의 점을 일대일로 대응시키고, 수직선은 0과 1사이의 구간의 점과 반원의 점을 일대일로 대응시키므로, 0과 1사이의 실수가 모든 실수와 같이 많다고 주장할 수 있습니다.
이제 칸토르는 0과 1사이의 실수가 합당수처럼 무한한 순열로 정렬될 수 없다는 것을 증명해야 합니다. 이를 위해 그는 반증법을 사용하여 매우 영리한 증명을 제공했습니다. 우리가 0과 1사이의 실수가 정렬된 리스트 x₁, x₂, x₃, ...라고 가정하면, 각 xᵢ는 xᵢ=0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃... (i=1, 2, ...)로 표현할 수 있습니다.
이제 새로운 수 x=0.b₁b₂b₃...를 구성하여 b₁≠a₁₁, b₂≠a₂₂, b₃≠a₃₃, ... 이런 식으로 하십시오. 이렇게 구성된 수 x는 물론 (0, 1) 구간의 실수이지만, 위의 리스트 x₁, x₂, x₃, ... 중 하나도 아닐 것입니다.
이것은 우리가 (0, 1) 구간의 실수를 정렬하더라도 적어도 하나의 수가 이 순열에 포함되지 않을 것이라는 것을 보여줍니다. 따라서 비록 (0, 1) 구간의 실수와 합당수가 모두 무한하더라도, 그것의 무한성(즉, 모든 실수의 무한성)은 모든 합당수의 무한성(즉, 모든 자연수의 무한성)보다 더 크습니다. 실수에서 합당수를 제거하면, 분명히 모든 비합당수도 순열로 정렬될 수 없습니다(두 순열은 항상 하나의 순열로 합쳐질 수 있기 때문에), 따라서 비합당수는 합당수보다 많습니다.