Простые числа — это натуральные числа, которые не делятся на другие натуральные числа, кроме 1 и самих себя. Так что 1 — простое число? Если p — натуральное число, большее 1, и у него только два делителя — 1 и p, то p называется простым числом (или простым множителем). То есть простое число нельзя разложить на произведение двух делителей, меньших его самого. Последовательность простых чисел выглядит так: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и так далее.
Простые числа важны, потому что любое натуральное число, большее 1, можно разложить на произведение нескольких простых чисел, и это разложение является уникальным (если не учитывать порядок чисел). Этот вывод известен как "базовая теорема арифметики". Например, число 7623 можно разложить на произведение 3^2 × 7 × 11^2, а уникальность заключается в том, что простые множители 3, 7 и 11, а также их соответствующие степени 2, 1 и 2 являются единственными и не могут быть заменены другими числами. Мы знаем, что любая степень 1 равна 1, поэтому, если бы 1 также считалось простым числом, в разложении 7623 можно было бы вставить любую степень 1, и уникальность разложения была бы нарушена, что привело бы к ненужным трудностям. Поэтому математики четко установили, что 1 не является простым числом.
Базовая теорема арифметики показывает, что простые числа являются "базовыми элементами", из которых состоят натуральные числа. Таблица простых чисел для теории чисел играет ту же роль, что и таблица элементов для химии, однако с одним огромным отличием: таблица простых чисел бесконечна.