После введения мнимых единиц i = 1 математики все чаще использовали комплексные числа для решения математических задач. Однако первоначально математики не признавали комплексные числа реальными, считая их абстрактными, вымышленными числами. Великий математик Эйлер внес значительный вклад в изучение комплексных чисел. Он ввел название "мнимые числа" и символ i для мнимых единиц, а также известную формулу Эйлера e iθ = cosθ + isinθ. Однако Эйлер тоже не признавал реальность комплексных чисел. Он говорил: "Все числа вида и являются невозможными, потому что они представляют собой квадратный корень из отрицательного числа. Что касается таких чисел, мы можем только утверждать, что они не являются ни чем-то, ни большим, ни меньшим, чем ничто. Они просто вымышлены". Такая ситуация продолжалась почти 200 лет, пока в XIX веке, в эпоху Гаусса, она не завершилась.
Мы знаем, что действительные числа могут быть представлены точкой на числовой оси, но как представлять мнимые числа i? В то время несколько европейских математиков, таких как Визер, Арганд и Гаусс, заметили, что умножение числа на -1 равно его противоположности, и на числовой оси это означает поворот на 180° вокруг точки O. Если умножить на -1 еще раз, это будет означать возвращение в исходное положение. Теперь i^2 = -1, что означает, что умножение числа i дважды равно повороту на 180° вокруг точки O. Таким образом, умножение на i один раз должно быть поворотом на 90° (против часовой стрелки). Можно представить, что все чисто мнимые числа должны находиться на прямой, перпендикулярной оси действительных чисел и проходящей через точку O. Эту прямую называют мнимой осью. Реальную ось называют осью действительных чисел, и вместе они образуют прямоугольную систему координат на плоскости, где комплексное число a + bi представляет собой точку (a,b) на этой плоскости. Эта плоскость называется комплексной плоскостью.
Этот подход придал комплексным числам и их операциям сложение, вычитание, умножение и деление явный геометрический смысл. Таким образом, комплексные числа получили реальную модель, и люди стали воспринимать их как нечто реальное. Раньше абстрактные комплексные числа стали чем-то конкретным. Модель Гаусса и других не только придала комплексным числам реальность и устранила сомнения, но и связала их с плоскостной геометрией и векторными операциями, позволив применять комплексные числа для решения многих математических и физических задач на плоскости. В XIX веке на этой основе развилась дисциплина — теория комплексных функций, которая является продолжением математического анализа на комплексных переменных. Комплексные функции широко используются в гидродинамике и упругости, например, при проектировании крыльев используются комплексные функции конформного отображения. Еще более удивительно то, что комплексные функции используются для изучения распределения простых чисел и стали важной областью современной математики — аналитической теории чисел. В современной математике, будь то чистая математика или прикладная математика, комплексные числа незаменимы. Люди прошлого ни за что не могли представить, что эти "чисто вымышленные" числа сегодня оказываются столь многофункциональными.