В 1883 году немецкий математик Кантор представил очень странное множество. Рассмотрим интервал 0, 1, состоящий из всех действительных чисел между 0 и 1. Разделим его на три части и удалим среднюю открытую часть (1/3, 2/3). Таким образом, оставшееся множество будет представлять собой объединение двух оставшихся интервалов, а именно 0, 1/3∪2/3, 1. Затем снова разделим каждый интервал на три части и удалим средний открытый интервал, получив множество из четырех ещё меньших оставшихся интервалов. Продолжая удалять по одной трети из каждого интервала, в конце концов, оставшиеся числа образуют множество, называемое множеством Кантора.
Легко заметить, что после каждого удаления средней части всех оставшихся интервалов их общая длина становится равной 2/3 от первоначальной. Поскольку первоначальная длина интервала равна 1, после n-го шага длина всех оставшихся интервалов будет равна (2/3)^n. Когда n стремится к бесконечности, (2/3)^n будет стремиться к нулю, и, следовательно, "общая длина" множества Кантора равна 0.
Однако это означает лишь то, что множество Кантора не содержит ни одного интервала, но не означает, что в нём нет ни одного числа. В процессе создания множества Кантора, поскольку каждый раз удаляется открытый интервал, конечные точки всех оставшихся интервалов не удаляются, и, таким образом, такие числа, как 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 и т. д., в конечном итоге остаются в множестве Кантора. Фактически, поскольку все дроби вида (1/3)^n сохраняются, в множестве Кантора бесконечно много чисел!
Ещё интереснее то, что множество Кантора содержит много чисел за пределами "конечных значений".
Хотя чисел в множестве Кантора бесконечно много, интуитивно кажется, что их должно быть гораздо меньше, чем действительных чисел в интервале 0, 1. Однако, к удивлению, это не так, на самом деле чисел в множестве Кантора столько же, сколько и действительных чисел в интервале 0, 1! Это гораздо больше, чем кажется, если рассматривать множество рациональных чисел, заполняющих интервал 0, 1!
Чтобы продемонстрировать это, мы представим все числа между 0 и 1 в виде тройных дробей. Если разделить их на три части, то они будут соответствовать интервалу от 0 до 0.1, от 0.1 до 0.2 и от 0.2 до 1. Удалив среднюю часть, состоящую из чисел с первой цифрой 1, остальные числа будут иметь первую цифру 0 или 2. На следующем этапе мы удалим среднюю треть каждого интервала, то есть все числа с первой цифрой 1, и остальные числа будут иметь вторую цифру 0 или 2… и так далее. В конце концов, оставшиеся числа в множестве Кантора будут представлять собой тройные дроби, состоящие только из 0 и 2! Например, тройная дробь 1/4 представляется как 0.020202…, поэтому 1/4 действительно принадлежит множеству Кантора. Кроме того, хотя 1/3 представляется как 0.1, а 1/9 — как 0.01, мы также можем переписать их как бесконечно повторяющиеся дроби 0.02222… и 0.002222… (аналогично тому, как 0.999… = 1), поэтому они тоже находятся в множестве Кантора.
Затем мы можем легко сопоставить все числа в множестве Кантора с действительными числами в интервале 0, 1. Для любого числа в множестве Кантора сначала преобразуем его в тройную дробь, затем заменим все цифры 2 на 1, а затем рассматриваем её как двоичное число и снова преобразуем в десятичное — и это будет некоторое действительное число в интервале 0, 1. Аналогично, для каждого действительного числа в интервале 0, 1 сначала преобразуем его в двоичное число, затем заменим все 1 на 2 и рассматриваем его как тройную дробь.Это десятичное число в тройной системе счисления, и поэтому оно является элементом множества Кантора. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между числами в множестве Кантора и всеми действительными числами в интервале 0, 1, и количество чисел в этих двух множествах одинаково!
"Общая длина" множества Кантора равна 0, но количество содержащихся в нём элементов оказывается таким же, как и количество действительных чисел в интервале. Эти необычные свойства быстро привлекли внимание математиков. Множество Кантора играет важную роль в различных областях математики, таких как теория множеств, топология, теория меры, реальный анализ и теория фракталов.