Рациональные и иррациональные числа вместе образуют действительные числа. После того как Кантор обнаружил, что рациональных чисел может быть столько же, сколько и положительных целых чисел, являющихся их частью, ему закономерно возник вопрос: а может ли количество действительных чисел быть таким же, как и количество рациональных чисел, являющихся их частью? После тщательного исследования Кантор пришел к отрицательному выводу. Чтобы проиллюстрировать вывод Кантора, обратим внимание на следующий факт: луч, исходящий из точки A, обеспечивает соответствие между точками на полукруге и точками на оси действительных чисел, а перпендикуляр обеспечивает соответствие между точками на интервале (0, 1) и точками на полукруге. Таким образом, можно утверждать, что количество действительных чисел на интервале (0, 1) такое же, как и количество всех действительных чисел.
Теперь Кантору оставалось доказать, что действительные числа на интервале (0, 1) не могут быть упорядочены в бесконечную последовательность, как рациональные числа. Для этого он использовал очень изящное доказательство по принципу противоречия: предположим, что действительные числа на интервале (0, 1) могут быть упорядочены в последовательность, например, x₁, x₂, x₃, …. Мы знаем, что каждое действительное число на интервале (0, 1) может быть однозначно представлено в виде бесконечного десятичного разложения, и каждое xᵢ можно представить как xᵢ = 0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃… (i = 1, 2, …).
Теперь построим новое число x = 0.b₁b₂b₃…, причем b₁ ≠ a₁¹, b₂ ≠ a₂², b₃ ≠ a³³ и так далее. Это число, конечно, будет действительным числом на интервале (0, 1), но оно не может быть ни одним из чисел в последовательности x₁, x₂, x₃, …. Это показывает, что независимо от того, как упорядочены действительные числа на интервале (0, 1), всегда будет хотя бы одно число, которое не может быть включено в эту последовательность. Поэтому, хотя количество действительных чисел на интервале (0, 1) и рациональных чисел бесконечно, бесконечность первых (то есть бесконечность всех действительных чисел) больше, чем бесконечность вторых (то есть бесконечность всех натуральных чисел). Так как действительные числа, за исключением рациональных, являются иррациональными, очевидно, что иррациональные числа также не могут быть упорядочены в последовательность (поскольку две последовательности всегда можно объединить в одну последовательность), что показывает, что иррациональных чисел больше, чем рациональных.