Дробь (включая целые числа) является рациональным числом. С точки зрения десятичных дробей, это либо конечная десятичная дробь, либо бесконечно повторяющаяся десятичная дробь. Это означает, что дроби и конечные десятичные дроби или бесконечно повторяющиеся десятичные дроби могут быть взаимно преобразованы друг в друга. Почему? Значение дроби — это величина, получаемая при делении q на p. При каждом делении q на p остаток может быть только 0 или 1, 2, …, p-1. Если остаток в какой-то раз является 0, то полученный частный будет конечной десятичной дробью; если остаток постоянно не равен 0, то остаток может быть только p-1 раз. Согласно принципу ящиков, среди p позиций десятичной точки частного обязательно будут две одинаковые, поэтому частный будет бесконечно повторяющейся десятичной дробью, и его первый "период" обязательно начнется с первых p позиций десятичной точки. Таким образом, дробь может быть преобразована в конечную десятичную дробь или бесконечно повторяющуюся десятичную дробь.
И наоборот, конечная десятичная дробь или бесконечно повторяющаяся десятичная дробь также могут быть преобразованы в дробь. Преобразование конечной десятичной дроби в дробь простое: достаточно увеличить число с n позициями десятичной точки в 10^n раз и разделить его на 10^n. Например, для бесконечно повторяющейся десятичной дроби можно сначала увеличить ее в 10^(n+m) раз и в 10^n раз, где n — количество позиций неповторяющейся части десятичной точки, а m — количество позиций повторяющейся части. Эти два увеличенных числа будут иметь абсолютно одинаковую десятичную часть, а их разность даст целое число. Таким образом, исходная десятичная дробь может быть преобразована в дробь. Например: для a=0.24126126126… первые две позиции десятичной точки 24 — неповторяющаяся часть, а повторяющаяся часть состоит из 126 и имеет 3 позиции. Вычислим 100000a=24126.126126…, 100a=24.126126126…. Отнимите (100000a-100a)=24126-24=24102. Таким образом, мы преобразовали бесконечно повторяющуюся десятичную дробь a в дробь.