Летом 1900 года более 200 выдающихся математиков собрались на Международный конгресс математиков в Париже, Франция. На этом конгрессе знаменитый немецкий математик Давид Гильберт выступил с важным докладом на тему "Математические проблемы". В своём выступлении он перечислил серию наиболее важных, по его мнению, математических задач. Эти задачи привлекли интерес многих математиков и оказали большое влияние на развитие математики. Спустя 100 лет, в 2000 году, математики из Крэй Института Математики в США также провели математический конгресс в Париже. На этом конгрессе участники также перечислили ряд наиболее важных, по их мнению, математических задач. Хотя их авторитет, возможно, не сравним с Гильбертом, они сделали то, чего не смог сделать Гильберт: установили огромный приз в 1 миллион долларов США за каждую из этих задач. Эти два схожих математических конгресса, помимо того, что оба проходили в Париже, Франция, имели ещё одно примечательное сходство: среди перечисленных задач была одна и та же задача, а именно гипотеза Римана, выдвинутая Риманом в 1859 году, которую многие математики считают одной из самых важных математических гипотез.
Что такое гипотеза Римана? Содержание гипотезы Римана невозможно полностью описать с помощью элементарной математики. Грубо говоря, это гипотеза о функции комплексной переменной, называемой Римановым зета-функцией (функция, в которой переменная и значение функции находятся в комплексной области). Римановый зета-функция, как и многие другие функции, принимает значение равное нулю в некоторых точках, называемых точками нуля Риманова зета-функции. Среди этих точек есть особенно важные, называемые нетривиальными точками нуля Риманова зета-функции. Гипотеза Римана предполагает, что все эти нетривиальные точки нуля находятся на особой прямой, называемой "критической прямой", которая проходит через точку 1/2 на вещественной оси и параллельна мнимой оси.
Гипотеза Римана до сих пор остаётся нерешённой (она не была ни доказана, ни опровергнута). Однако математики уже провели её глубокое изучение с двух разных точек зрения: анализа и численных расчётов. На сегодняшний день самый сильный результат в области анализа — это доказательство того, что по крайней мере 40% нетривиальных точек нуля находятся на критической прямой; а самый сильный результат в области численных расчётов — это проверка того, что первые 10 000 триллионов нетривиальных точек нуля находятся на указанной критической прямой.
Почему гипотеза Римана так важна? Потому что она очень сложна? Конечно, гипотеза Римана действительно очень сложна, но если оценивать её только по сложности, то и другие известные математические гипотезы не уступают ей. Например, гипотеза Ферма была доказана после более 350 лет усилий; гипотеза Гольдбаха была выдвинута более чем за 100 лет до гипотезы Римана, но, как и Римановская гипотеза, до сих пор остаётся неразрешённой. Так почему же Римановская гипотеза считается самой важной математической гипотезой? Прежде всего, потому, что она тесно связана с другими математическими утверждениями. По статистике, более 1000 математических утверждений в сегодняшней математической литературе основаны на предположении о верности Римановской гипотезы (или её обобщений). Это означает, что если Римановская гипотеза будет доказана, все эти более 1000 математических утверждений могут быть превращены в теоремы; и наоборот, если Римановская гипотеза будет опровергнута, неизбежно, по крайней мере, некоторые из этих 1000 математических утверждений станут "жертвами". Тот факт, что математическая гипотеза так тесно связана с таким большим количеством математических утверждений, является уникальным в математике. Во-вторых, Римановская гипотеза тесно связана с проблемой распределения простых чисел в теории чисел, которая является чрезвычайно важной традиционной областью математики и была названа немецким математиком Гауссом "королевой математики". Проблема распределения простых чисел также является чрезвычайно важной традиционной темой в теории чисел и всегда привлекала интерес многих математиков. Это также значительно увеличило значение Римановской гипотезы для математиков.его статус и важность в математике. Более того, важность математической гипотезы также можно измерить тем, способствуют ли методы и результаты, полученные в процессе её изучения, развитию других областей математики. Фактически, один из первых результатов, полученных математиками в процессе изучения гипотезы Римана, привел к доказательству важной теоремы о распределении простых чисел — теоремы о простых числах. Наконец, и самое неожиданное — важность гипотезы Римана выходит даже за рамки чистой математики и "переходит" на территорию физики. В начале 1970-х годов было обнаружено, что некоторые исследования, связанные с гипотезой Римана, имеют заметную связь с некоторыми очень сложными физическими явлениями. Причина этой связи до сих пор остаётся загадкой, но сам её факт, несомненно, ещё больше повышает важность гипотезы Римана.