В последовательности простых чисел некоторые соседние простые числа отличаются друг от друга на 2, например 3 и 5, 5 и 7, 11 и 13 и т. д. Такие простые числа называются близнецовыми простыми числами. На первый взгляд может показаться, что близнецовые простые числа довольно часто встречаются в последовательности простых чисел, но на самом деле это не так, и их становится все труднее найти по мере продвижения вперед. Можно доказать, что близнецовые простые числа в последовательности простых чисел довольно редки, их плотность равна нулю; то есть почти все простые числа не являются близнецовыми простыми числами. Несмотря на это, близнецовые простые числа время от времени все же встречаются. В 2011 году были обнаружены два близнецовых простых числа с 200700 цифрами: 3756801695685×2666669±1^. Похоже, что близнецовые простые числа тоже бесконечны. Предполагается, что существует бесконечно много пар близнецовых простых чисел. Эта гипотеза столь же сложна, как и гипотеза Гольдбаха о четных числах, и до сих пор не решена. В 2013 году китайско-американский математик Чжан Итан доказал существование положительного четного числа n, не превышающего 7×10^7, для которого существует бесконечно много пар простых чисел p и q, удовлетворяющих p q = n. Это было самым выдающимся научным достижением со времен выдвижения гипотезы о близнецовых простых числах.
Гипотеза о близнецовых простых числах также может быть сформулирована следующим образом: полиномы x и x + 2 могут одновременно принимать бесконечно много значений, равных простым числам. Используя язык полиномов, можно также выдвинуть гипотезу о триблизнецовых простых числах: полиномы x, x + 2 и x + 6 могут одновременно принимать бесконечно много значений, равных простым числам. Более обще, британские математики Харди и Литтлвуд выдвинули гипотезу о k-близнецовых простых числах, где k — заранее заданное положительное целое число. Конечно, ни одна из вышеуказанных гипотез не была доказана.
Гипотеза Эрдеша-Турна предполагает наличие связи между простыми числами, не предъявляя особых требований к разнице между ними (например, для близнецовых простых чисел разница равна 2), но требуя любого количества простых чисел. Гипотеза Эрдеша-Турна утверждает, что в последовательности простых чисел существует любая длина арифметической прогрессии. В 2004 году Тао и Грин, объединив теорию перебора и аналитическую теорию чисел, решили эту давнюю проблему теории чисел, что стало одним из главных вкладов Тао в получение Филдсовской премии.