为什么规定a^0=1

在数学中常会遇到几个相同的数相乘，为此引入了乘方运算，并用符号aⁿ来表示，如7^5 =7×7×7×7×7。aⁿ中的n称为指数，指同一数连乘的次数。按照乘方的定义，a^0（a≠0）等于什么呢？如果把这一式子理解为a自乘0次的结果，那么这个结果是多少？不必奇怪，我们无法确定出答案，因为乘方的定义中，指数是正整数。因此，当我们把指数由正整数推广至0时，就无法套用原有的定义。但奇妙的是，可以借助于乘方的最初定义给出a^0的恰当结果。让我们回到正整数次幂，看看乘方具有的运算性质。

从一个简单的例子出发：7^5 ×7^3 =（7×7×7×7×7）×（7×7×7）=7^8。对此，有更简单的算法：7^5 ×7^3 =7^(5+3)=7^8。一般地，我们有a^m ·a^n =a^(m+n)。类似地，由于0不能做除数，我们还要求a≠0。从乘方的运算法则中我们看到了计算a^0的方法。事实上，取相同的指数，我们有：a^m ÷a^m =1，因此就得到a^0 =1（a≠0）。

在上述定义的基础上，我们还可以把指数推广至负整数。因为a^(-n) ·a^n =a^0=1，因此有a^(-n)=1/a^n。再进一步，可以将乘方中的指数推广到分数指数。这只需要承认一个前提，当指数是分数时，乘方的运算法则仍然成立。于是有a^(1/2)，这个式子意味着两个a^(1/2)相乘等于a，即平方后等于a，没错，就是√a。按照同样的思路，就可以给出指数为一般分数时的定义。如果学习了极限，还可以把指数推广到任意实数。不过分数指数和无理数指数对a往往有较多限制。