A×B是否一定等于B×A？
在社会生产实践和科学研究中，常常要处理一些有关联性的数据，比如实验数据、统计数据、财务数据等。为了清楚展示这些数据，通常人们会制作成表格，可将其抽象为矩阵形式：将n×m个数排成n行m列的矩形阵列，称为n×m矩阵，用括号括起，每个数是矩阵的元素，如某商业连锁公司各门店销量可对应2×3矩阵。
19世纪中叶，英国数学家凯莱系统建立了矩阵理论，规定了矩阵的算术运算。矩阵加法较简单，两个行数和列数相同的矩阵，和为对应位置元素相加所得的矩阵。矩阵乘法规定则不同：两个矩阵相乘，要求前一矩阵的列数和后一矩阵的行数相等，其积的第i行、第j列元素等于前一矩阵第i行和后一矩阵第j列对应位置元素相乘再求和所得的数。
一些初学矩阵的人不太理解矩阵乘法，为什么其规定如此古怪，而非像加法一样对应位置元素相乘呢？其实，这样定义矩阵乘法更符合实际需要。以上述商业公司的数据为例，多个门店、多个商品的营业额和利润计算，可通过矩阵乘法对应各表间关系，这是实际计算的需要；更重要的是数学中线性变换的需要，变量间的关系代入后，系数矩阵满足乘法关系，说明该定义是十分自然的。
矩阵乘法还有一个比较奇怪的性质。众所周知，两个数a与b相乘，总有a×b=b×a，即乘法交换律。但对于矩阵乘法，若以A、B表示两个矩阵，通常A×B与B×A并不相等，计算结果与相乘的两个矩阵的前后次序有关，这与常见乘法运算大相径庭。
人们对熟知的乘法交换律已习以为常，对矩阵乘法不可交换的性质曾心存疑惑，然而这种不可交换的矩阵乘法，在量子力学创建中找到了用武之地。1925年夏，24岁的德国物理学家海森伯构建了一套全新的量子理论，其所用乘法结果取决于相乘次序，他将论文交给导师玻恩，玻恩想起了矩阵乘法，海森伯用到的乘法正是矩阵乘法，当时多数物理学家不熟悉，后来该理论被称为矩阵力学，是量子力学的重要组成部分。海森伯因在创建量子力学理论中的重要贡献，于1932年获得了诺贝尔物理学奖。