Wir haben in der Schule gelernt, Gleichungen zu lösen, und dabei wurden vor allem sogenannte algebraische Gleichungen gelöst, wie zum Beispiel 3x -1 = 0 oder x 2 -2x -8 = 0. Eine der Hauptmerkmale dieser Gleichungen ist, dass jeder Term, der eine Unbekannte enthält, nur positive Ganzzahlpotenzen der Unbekannten enthält. Darüber hinaus haben diese Gleichungen zwei weitere wichtige Merkmale: Die Anzahl der Terme ist begrenzt, und die Koeffizienten der Unbekannten sind ganze Zahlen. Nun wollen wir die Frage beantworten: Sind alle reellen Zahlen Wurzeln von ganzzahligen algebraischen Gleichungen? Zur Vereinfachung nennen wir ganzzahlig-algebraische Gleichungen einfach algebraische Gleichungen. Zunächst ist es offensichtlich, dass alle rationalen Zahlen q = m / n Wurzeln der algebraischen Gleichung nx m = 0 sind, wobei m und n ganze Zahlen (n ≠ 0) sind. Zweitens wissen alle, die einfache quadratische Gleichung kennen, dass die Wurzeln einer algebraischen Gleichung nicht unbedingt rational sein müssen. Zum Beispiel sind die beiden Wurzeln von x 2 -2 = 0 irrational. Daher können die Wurzeln einer ganzzahlig-algebraischen Gleichung sowohl rational als auch irrational sein und haben zumindest potenziell die Möglichkeit, alle reellen Zahlen darzustellen.
Aber Potenzial bedeutet nicht, dass es möglich ist. Der entscheidende Beweis ist erforderlich. Der französische Mathematiker Liouville war der erste, der die Frage „Sind alle reellen Zahlen Wurzeln einer ganzzahlig-algebraischen Gleichung?“ mit einem negativen Ergebnis und einem Beweis beantwortete. Er bewies nicht nur, dass bestimmte reelle Zahlen keine Wurzeln einer ganzzahlig-algebraischen Gleichung sind, sondern konstruierte auch solche reellen Zahlen und gab damit auf die abschreckendste Weise eine negative Antwort. Die ersten von Liouville konstruierten Wurzeln nicht-algebraischer Gleichungen wurden mit Kettenbruch dargestellt, später konstruierte er solche Zahlen auch mit Dezimalzahlen. Zur Erinnerung an Liouvilles Beitrag werden die von ihm konstruierten Zahlen Liouville-Zahlen genannt.
Jetzt wissen wir, dass viele wichtige reelle Zahlen, wie zum Beispiel die Basis der natürlichen Logarithmen e und der Kreiszahl π, keine Wurzeln einer ganzzahlig-algebraischen Gleichung sind. Um die Darstellung zu erleichtern, bezeichnen Mathematiker Zahlen, die sich mit Wurzeln einer ganzzahlig-algebraischen Gleichung darstellen lassen, als algebraische Zahlen, und Zahlen, die sich nicht mit Wurzeln einer ganzzahlig-algebraischen Gleichung darstellen lassen, als transzendente Zahlen. Die reellen Zahlen enthalten sowohl algebraische Zahlen als auch transzendente Zahlen. Beispiele für algebraische Zahlen sind die natürliche Zahl e und der Kreiswert π; Beispiele für transzendente Zahlen sind e + π und e - π. Unsere Frage kann mit diesem neuen Begriff neu formuliert werden: Sind alle reellen Zahlen algebraische Zahlen? Die Antwort ist wie oben beschrieben negativ.
Allerdings ist die Antwort, obwohl sie bekannt ist, nicht einfach zu beweisen, dass eine bestimmte Zahl transzendental ist. Zum Beispiel hat es die Mathematiker nicht wenig Mühe gekostet, die beiden wichtigsten Konstanten e und π als transzendental zu beweisen. Die Transzendenz von e wurde 1873 vom französischen Mathematiker Hermite bewiesen. Ob π transzendental ist, war jedoch noch schwieriger zu beweisen, und erst 1882 gelang es dem deutschen Mathematiker Lindemann, zu beweisen, dass auch π transzendental ist. Ob einfache Kombinationen wie e + π und e - π transzendental sind, ist bis heute ein Rätsel.
Weiter können wir die Frage stellen, ob es mehr algebraische Zahlen oder transzendente Zahlen gibt? Angesichts der Schwierigkeit, transzendente Zahlen zu konstruieren und zu beweisen, vermuten viele Leser vielleicht, dass nur sehr wenige Zahlen transzendental sind. Tatsächlich ist das Gegenteil der Fall. Im Jahr 1874 bewies der deutsche Mathematiker Cantor, dass transzendente Zahlen weitaus zahlreicher sind als algebraische Zahlen (hier geht es um die Vergleichbarkeit der Elementanzahl unendlicher Mengen). Tatsächlich bewies er, dass fast alle reellen Zahlen transzendental sind – mit anderen Worten, wenn wir zufällig eine reelle Zahl aus der Menge der reellen Zahlen auswählen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine algebraische Zahl ist, 0!
Die Existenz transzendenter Zahlen hat nicht nur eine abstrakte taxonomische Bedeutung, sondern ermöglicht auch die Lösung einiger konkreter mathematischer Probleme. Zum Beispiel wurde bewiesen, dass die Länge der von einem Lineal und einem Kompass konstruierbaren Segmente nur eine algebraische Zahl sein kann (unter der Voraussetzung einer Einheitslänge). Daher ist π transzendental, ein Ergebnis, das scheinbar nur eine abstrakte taxonomische Bedeutung hat, direkt bewiesen worden.Das „Quadratieren des Kreises“, eines der „drei schwierigsten Probleme der Geometrie“, das Mathematiker seit mehr als 2300 Jahren beschäftigt, ist unmöglich zu lösen.