Gibt es für alle eindimensionalen algebraischen Gleichungen Lösungsformeln? Gleichungen wie 2x -6=0 , x 2 -3x +2=0 , x 3 -5x -12=0 , … werden als eindimensionale algebraische Gleichungen bezeichnet. Je nach dem Grad des höchsten Terms werden sie als eindimensionale lineare Gleichungen, eindimensionale quadratische Gleichungen, eindimensionale kubische Gleichungen usw. bezeichnet. Für eindimensionale lineare Gleichungen ist die Lösung äußerst einfach. Was die Lösung eindimensionaler quadratischer algebraischer Gleichungen betrifft, so haben viele alte Zivilisationen auch korrekte Ergebnisse in ihren Erforschungen erhalten. Tatsächlich gibt es für die allgemeine eindimensionale quadratische Gleichung a x 2 +b x +c =0 (a ≠0) eine Lösungsformel: In der Formel werden die Lösungen durch Addition, Subtraktion, Multiplikation und Wurzelziehung aus den Koeffizienten der Gleichung dargestellt. Daher werden die durch diese Formel gegebenen Lösungen als Wurzel-Lösungen der Gleichung bezeichnet.
Im 12. Jahrhundert beherrschten europäische Mathematiker die Lösungsmethode für quadratische Gleichungen. Danach begannen sie, sich mit der Wurzel-Lösung eindimensionaler kubischer Gleichungen zu befassen. Nach Jahrhunderten scheiterten viele Versuche. Im Jahr 1494 machte ein Mathematiker sogar eine pessimistische Vorhersage: Die Lösung kubischer Gleichungen sei, genau wie das Problem, einen Kreis in ein Quadrat einzuteilen, grundsätzlich unmöglich. Doch um das Jahr 1500 herum gelang es dem italienischen Mathematiker Ferrari erstmals, eine Lösungsformel für eindimensionale kubische Gleichungen mit fehlenden Termen zu finden. Er veröffentlichte seine Ergebnisse jedoch nicht und gab seine Lösung erst kurz vor seinem Tod an seine Schüler Fior und andere weiter. Kurz darauf behauptete ein anderer italienischer Mathematiker, Tartaglia, eine Lösungsmethode für kubische Gleichungen gefunden zu haben. Im Jahr 1535 kam es zu einem öffentlichen Wettbewerb zwischen Fior und Tartaglia. Die beiden vereinbarten, in Mailand öffentlich 30 kubische Gleichungen zu lösen, und wer mehr Gleichungen lösen konnte, sollte gewinnen. Ursprünglich beherrschte Tartaglia nur die Lösung von eindimensionalen kubischen Gleichungen ohne einstige Terme. Um den Wettbewerb zu gewinnen, dachte er tagelang intensiv nach und fand kurz vor dem Wettbewerb Lösungen für verschiedene Typen von eindimensionalen kubischen Gleichungen. Das Ergebnis des Wettbewerbs war ein glänzender Sieg für Tartaglia.
Kurz nach dem Wettbewerb hörte ein anderer Mathematiker, Cardano (auch „Cardan“ genannt), davon. Danach suchte er Tartaglia mehrmals um eine Lösungsmethode für kubische Gleichungen zu bitten. Erst nachdem er ein Gelübde abgelegt hatte, niemals das Geheimnis zu verraten, offenbarte Tartaglia Cardano sein Geheimnis. Daraufhin erforschte Cardano verschiedene Typen von kubischen Gleichungen und bewies deren Lösbarkeit. Im Jahr 1545 veröffentlichte Cardano sein wichtigstes mathematisches Werk „Ars Magna“, in dem er seine Entdeckungen der Öffentlichkeit präsentierte. Darin enthielt sich auch eine wichtige Entdeckung seines Schülers Ferrari: die allgemeine Lösung eindimensionaler vierter-Grad-Gleichungen. Cardanos Untreue verärgerte Tartaglia, und ein Streit war unvermeidlich. Am 10. August 1548 kam es in Mailand zu einer öffentlichen Debatte, bei der Tartaglia scheiterte. Bis heute wird die Lösungsformel für kubische Gleichungen als Cardanos Formel bezeichnet.
Allerdings ist die Mathematik unermüdlich. Die Lösung eines Problems bedeutet oft die Geburt eines neuen Problems. Nach „Ars Magna“ widmeten sich die Menschen sofort dem nächsten Wettbewerb, nämlich der Suche nach einer Wurzel-Lösungsformel für fünft-gradige Gleichungen. Niemand zweifelte daran, dass auch fünft-gradige eindimensionale Gleichungen lösbar sein sollten. Doch ein Jahrhundert verging, ein weiteres Jahrhundert verging, und niemand hatte Erfolg.
Ende 1823 kam der eigentliche Durchbruch. Der erst 21-jährige norwegische Mathematiker Abel bewies, dass es für allgemeine eindimensionale fünft-grad-algebraische Gleichungen keine Wurzel-Lösung gibt. Das war der Grund, warum zwei Jahrhunderte lang die Suche nach diesem „Heiligen Gral“ erfolglos geblieben war. AbelSie haben einige Kopien Ihrer Forschungsergebnisse angefertigt. Um Druckkosten zu sparen, fasste er den Kern seiner Ideen auf nur sechs Seiten zusammen. Die übermäßig vereinfachten Beweise machten seine Arbeit jedoch schwer verständlich, sodass sie in der mathematischen Gemeinschaft keinen Eindruck hinterließ. Abel, der sein Leben lang von Armut und Krankheit geplagt wurde, starb am 6. April 1829 im Alter von knapp 27 Jahren an einer Krankheit.
Kurz nach seinem Tod begannen seine Beweise, akzeptiert zu werden, aber es gab noch neue Herausforderungen. Welche Gleichungen können mit Wurzeln gelöst werden, welche nicht? Gibt es einen geeigneten Diskriminantentest? Abel hatte keine Zeit, diese Frage zu lösen, bevor er starb, und so wurde sie Galois überlassen, einem der legendärsten und tragischsten Mathematiker der gesamten Geschichte der Mathematik.
Im Alter von 17 Jahren hatte Galois bereits Fortschritte in diesem Bereich gemacht und reichte in den folgenden Jahren mehrere Forschungsarbeiten ein. Seine Arbeiten wurden jedoch entweder zurückgewiesen, verloren oder nicht verstanden, und Galois, der von der mathematischen Gemeinschaft nicht anerkannt wurde, wurde zunehmend frustriert. Darauf folgte eine Reihe von persönlichen Rückschlägen. Unter dem Druck wandte er sich der Politik zu und wurde zweimal inhaftiert. 1832 war er in einen sinnlosen Duell eingebunden. In der Nacht vor dem Duell arbeitete er die ganze Nacht und gab eine kurze Darstellung seiner Forschungsergebnisse. Am 30. Mai 1832 fiel Galois während des Duells und starb am nächsten Tag im Alter von 21 Jahren. Mehr als zehn Jahre später wurden seine Arbeiten neu bearbeitet und veröffentlicht, und seine genialen Ideen wurden anerkannt.
Die Schönheit von Galois' Ideen bestand darin, dass er nicht nur bewies, dass allgemeine monogene Gleichungen fünften Grades (und höher) nicht mit Wurzeln gelöst werden können, sondern auch erklärte, warum allgemeine monogene Gleichungen zweiten, dritten und vierten Grades gelöst werden können. Seine Forschung lieferte auch einen klaren Kriterium für die Existenz von Wurzeln für algebraische Gleichungen und schloss damit das 300 Jahre alte Problem der Wurzeln lösbaren algebraischen Gleichungen ab. Die bahnbrechende Bedeutung von Galois' Arbeit liegt darin, dass er bei der Lösung dieses Problems die Ideen der Gruppentheorie einführte und einen neuen Bereich in der mathematischen Forschung eröffnete.