Für die meisten Menschen ist es eine selbstverständliche und unbestreitbare Tatsache, dass „das Ganze mehr ist als die Summe seiner Teile“. Der griechische Mathematiker Euklid schrieb dies sogar als Axiom in sein Werk „Die Elemente“ nieder. Wäre es für Sie überraschend, wenn Ihnen jemand sagen würde, dass das Ganze und seine Teile in Bezug auf die Anzahl möglicherweise gleich sind?
Um dieses Problem zu erklären, betrachten wir zunächst, was es bedeutet, wenn zwei Dinge in Bezug auf die Anzahl gleich sind. Nehmen wir an, wir sehen eine ausverkaufte Menge bei einer Aufführung, und niemand steht. Wir können dann ohne die Anzahl der Sitzplätze und der Personen zu zählen, feststellen, dass sie gleich sind. Dies liegt daran, dass eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen den Sitzplätzen und den Personen möglich ist. Abstrakt gesagt: Wenn zwei Mengen eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zueinander haben, dann ist die Anzahl ihrer Elemente gleich. Offensichtlich ist es nicht möglich, eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen einer endlichen Menge und einem Teil davon herzustellen. Aber wie sieht es mit unendlichen Mengen aus?
1638 dokumentierte der italienische Physiker Galileo in seinem Buch die folgende überraschende Tatsache: Jede positive ganze Zahl ist einer Quadratzahl zugeordnet, und daher gibt es genauso viele Quadratzahlen wie positive ganze Zahlen. Aber Quadratzahlen sind nur ein Teil der positiven ganzen Zahlen, also können positive ganze Zahlen mit ihren Teilen gleich sein. Galileos Entdeckung wurde damals nicht beachtet. Zweihundert Jahre später wies ein tschechischer Mathematiker namens Bolzano erneut auf dieselbe Tatsache hin, allerdings allgemeiner: Eine unendliche Menge kann mit ihrer Teilmenge eine Eins-zu-Eins-Zuordnung herstellen. Aber auch dies wurde nicht weithin beachtet. Erst nach 1872 begann der deutsche Mathematiker Cantor mit einer intensiven Erforschung unendlicher Mengen. Cantor war davon überzeugt, dass es das Wesen unendlicher Mengen ist, dass eine Menge mit ihrer Teilmenge gleich groß sein kann. Darüber hinaus entdeckte er, dass es noch viele weitere unerwartete Eigenschaften unendlicher Mengen gibt.