Der deutsche Mathematiker Cantor, der Begründer der Mengenlehre, hatte eine revolutionäre Theorie über unendliche Mengen. Zu Beginn seiner Arbeit stieß er auf großen Widerstand und sogar öffentliche Kritik. Doch viele Mathematiker unterstützten seine Theorie, darunter auch der große Mathematiker Hilbert aus dem 20. Jahrhundert. Hilbert soll bei einem Vortrag folgende Geschichte erzählt haben, um die Eigenschaften der Unendlichkeit zu veranschaulichen.
Stellen wir uns ein Hotel vor, das eine begrenzte Anzahl von Zimmern hat, die alle belegt sind. Nun kommt ein neuer Gast, der ein Zimmer buchen möchte. Der Hotelbesitzer sagt: „Entschuldigen Sie, alle Zimmer sind belegt.“ Stellen wir uns nun ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern vor, die ebenfalls alle belegt sind. Ein neuer Gast kommt und möchte ein Zimmer buchen. „Aber… na ja, kein Problem!“, sagt der Hotelbesitzer nach einer Weile. Daraufhin zieht er den Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3, den Gast aus Zimmer 3 in Zimmer 4 usw., so dass der neue Gast in das gerade frei gewordene Zimmer 1 einziehen kann.
Nochmal dieses Hotel, und alle Zimmer sind wieder belegt. Nun kommen unendlich viele neue Gäste, die ein Zimmer buchen möchten. Aufgrund seiner vorherigen Erfahrung sagt der Hotelbesitzer prompt: „Gut, meine Herren, warten Sie bitte.“ Daraufhin zieht er den Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 4, den Gast aus Zimmer 3 in Zimmer 6 usw. Auf diese Weise ziehen alle alten Gäste in die gerade frei gewordenen ungeraden Zimmer um, und die unendlich vielen neuen Gäste können direkt in die gerade frei gewordenen geraden Zimmer einziehen. So konnten alle unendlich vielen neuen Gäste zufrieden einziehen.
So endet die Geschichte. Später wurde dieses Hotel als „Hilberts Hotel“ bekannt. Hilbert erzählte diese Geschichte, um das Konzept der „unendlichen Menge“ anschaulicher zu machen. Der Hotelbesitzer konnte jedes Mal das Problem der Unterbringung neuer Gäste bei voller Belegung lösen, weil er jedes Mal eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen einer unendlichen Menge und einer anderen unendlichen Menge herstellte.