Eine Tage im 6. Jahrhundert v. Chr. ging der griechische Mathematiker Pythagoras durch eine Schmiede und hörte, wie Hammer auf Eisen schlug und einen schönen Klang erzeugte. Also lief er in die Schmiede, um die Hämmer zu analysieren, und erkannte, dass die Hämmer, die harmonisch miteinander klingen, eine einfache mathematische Beziehung haben – ihr Gewicht steht in einem einfachen Verhältnis zueinander. Genauer gesagt erzeugten Hämmer, deren Gewicht dem einer anderen Hämmer halb, ein Drittel oder ein Viertel entsprach, einen harmonischen Klang. Auf der anderen Seite gab es einen Hammer, der immer einen unangenehmen Klang erzeugte, wenn er mit anderen Hämmern zusammen schlug, und zwischen seinem Gewicht und dem der anderen Hämmer bestand keine solche einfachen ganzzahligen Verhältnisse. Pythagoras wiederholte diesen Test auf Saiteninstrumenten und kam zu demselben Ergebnis: Wenn die Länge zweier Saiten ein einfaches ganzzahliges Verhältnis zueinander aufwies, erzeugten die Saiten einen schöneren Klang. Die Harmonie der Töne hing also von ganzzahligen Verhältnissen ab! Diese Entdeckung aus der Musik inspirierte Pythagoras sehr. Später führte er auch die Bewegung der Planeten auf ganzzahlige Verhältnisse zurück. Auf der Grundlage dieser Entdeckungen erklärte Pythagoras: „Alles ist Zahl“, d. h. die ganze Welt kann durch ganze Zahlen oder ganzzahlige Verhältnisse erklärt werden. Dies wurde zum Glaubensbekenntnis seiner Schule und seiner Anhänger. In der Geometrie äußert sich dies in der Tatsache, dass zwei beliebige Längen ganzzahlige Verhältnisse zueinander aufweisen. Hier ist eine Erklärung dieses unbekannten Begriffs erforderlich. Nehmen wir zwei Längen mit den Längen a und b an. Wenn es möglich ist, eine kleine Länge d zu finden, so dass a in d-mal, also n-mal, und b in d-mal, also m-mal, aufgeteilt werden kann, dann sagen wir, dass die Längen a und b kongruent oder kongruent sind (d ist der gemeinsame Maßstab für beide Längen). In unserer vertrauten Sprache heißt das, dass das Verhältnis der Längen zweier beliebiger Strecken eine ganze Zahl oder einen Bruch ist.
Diese sehr vernünftige und intuitive Schlussfolgerung schien unbestreitbar zu sein, und sie wurde von den alten Griechen damals auch allgemein akzeptiert. Der Wendepunkt erfolgte, nachdem Pythagoras den Satz des Pythagoras bewiesen hatte. Ein Schüler von Pythagoras, Hippasus, untersuchte das berühmte Werk seines Lehrers und dachte dabei über die Frage nach: Sind die Diagonalen eines Quadrats mit seinen Seiten kongruent? Nach sorgfältigem Nachdenken entdeckte Hippasus überraschend, dass die beiden Längen keine gemeinsamen Maßeinheiten aufwiesen: Egal wie klein die Maßeinheiten gewählt wurden, sie konnten nie gemeinsame Maßeinheiten für die Seiten und die Diagonalen eines Quadrats sein. Mit anderen Worten, die Seiten und die Diagonalen eines Quadrats sind nicht kongruent! Oder, um es anders auszudrücken, das Verhältnis der Diagonalen eines Quadrats zu seinen Seiten (das wir heute kennen) ist weder eine ganze Zahl noch ein Bruch, sondern eine für die damaligen Menschen völlig unbekannte neue Zahl. Diese Entdeckung war für Pythagoras und seine Schule verheerend und widerlegte ihre mathematischen und philosophischen Lehren vollständig. Der Überlieferung nach wurde Hippasus, weil er seine Entdeckung preisgegeben hatte, von den Anhängern Pythagoras ins Meer geworfen und ertränkt.
Nach Hippasus wurden viele weitere Zahlen wie entdeckt. Später wurden solche Zahlen als „irrationale Zahlen“ bezeichnet, im Gegensatz zu den ursprünglich akzeptierten Zahlen (ganze Zahlen oder ganzzahlige Verhältnisse). Das Wort „rational“ und „irrational“ bedeutete ursprünglich bei den Griechen „vergleichbar“ und „nicht vergleichbar“. Bei der späteren Übersetzung wurde neben der Bedeutung „vergleichbar“ auch die Bedeutung „vernünftig“ und „unvernünftig“ hinzugefügt. Später übersetzte China es als „rationale Zahlen“ und „irrationale Zahlen“, und die meisten Menschen wissen nicht mehr, dass es ursprünglich „vergleichbare Zahlen“ und „nicht vergleichbare Zahlen“ bedeutete.