Wie wir alle wissen, sind die Punkte, die die positiven ganzen Zahlen auf der Zahlenachse darstellen, gleichmäßig verteilt, und zwischen zwei beliebigen rationalen Zahlen kann immer eine weitere rationale Zahl gefunden werden, beispielsweise deren Mittelwert. Dies scheint darauf hinzudeuten, dass es viel mehr rationale Zahlen als positive ganze Zahlen gibt. Tatsächlich gibt es jedoch genauso viele rationale Zahlen wie positive ganze Zahlen. Mit anderen Worten, es kann eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen allen rationalen Zahlen und den positiven ganzen Zahlen hergestellt werden.
Diese Tatsache wurde 1873 von Cantor entdeckt. Er betrachtete zunächst alle positiven rationalen Zahlen. Nach der unten angegebenen Anordnung können wir alle positiven rationalen Zahlen mit den positiven ganzen Zahlen in einer Eins-zu-Eins-Beziehung zusammenfassen. Offensichtlich erscheint jede positive rationale Zahl in dieser Anordnung. Wenn die Zahlen nacheinander wie durch die Pfeile angegeben neu geordnet und die bereits aufgetretenen Zahlen entfernt werden, erhalten wir eine unendliche Folge aller positiven rationalen Zahlen. Damit haben wir eine unendliche Folge aller rationalen Zahlen. Somit wird eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen der Menge der rationalen Zahlen und der Menge der positiven ganzen Zahlen hergestellt, so dass es genauso viele rationale Zahlen wie positive ganze Zahlen gibt.