Die Basis der natürlichen Logarithmusfunktion, e = 2,718281828…, ist eine wichtige Konstante in der Mathematik. Warum wurde diese Konstante eingeführt? Welche wichtigen Anwendungen hat sie? Lassen Sie uns das im Detail erläutern.
Zunächst betrachten wir ein idealisiertes Problem des Zinseszinses: Angenommen, es gibt eine Bank mit einem Jahreszins von 1%. Ein Kunde zahlt zu Beginn des Jahres 1 Yuan als Kapital ein, und der Gesamtbetrag am Ende des Jahres beträgt 1 + 1 = 2 Yuan. Wenn die Bank für kürzere Laufzeiten denselben Zinssatz anwendet, d. h. der Zinssatz wird entsprechend dem Anteil der Laufzeit im Jahr berechnet (z. B. ein halbjährlicher Zinssatz von 1/2, ein dreimonatiger Zinssatz von 1/4 und ein monatlicher Zinssatz von 1/12), hat der Kunde eine bessere Anlagestrategie: Wenn er 1 Yuan für ein halbes Jahr einzahlt und am Ende sofort den Kapitalbetrag und die Zinsen erneuert, beträgt der Gesamtbetrag am Ende des Jahres . Wenn die Laufzeit drei Monate beträgt und der Kunde am Ende sofort den Kapitalbetrag und die Zinsen erneuert, beträgt der Gesamtbetrag am Ende des Jahres . Wenn die Laufzeit einen Monat beträgt, sollte der Gesamtbetrag am Ende des Jahres sein. Hier zeigt sich, dass je kürzer die Laufzeit der Einlage ist, desto höher ist der am Ende des Jahres erzielte Gesamtbetrag aus Kapital und Zinsen nach der obigen Berechnung des Zinseszinses. Angenommen, die Bank erlaubt beliebig kurze Laufzeiten, z. B. ein Tag, eine Stunde oder eine Minute, oder sogar noch kürzere Laufzeiten, wie viel könnte dann der Gesamtbetrag nach einem Jahr betragen, und würden die Sparer dadurch zu sehr reich werden?
1697 betrachtete der Schweizer Mathematiker Jakob Bernoulli dieses Problem. Wenn ein Jahr in n gleiche Teile unterteilt wird und der Zinseszins für eine Laufzeit von n Jahren berechnet wird, dann beträgt der Gesamtbetrag nach einem Jahr . Jakob Bernoulli bewies, dass, wenn n immer größer wird und gegen unendlich strebt, dieser Gesamtbetrag immer größer wird, aber nicht unendlich, sondern immer näher an einen festen Wert, der zwischen 2 und 3 liegt. Heute wissen wir, dass dieser Wert 2,718281828… ist. In der Terminologie der mathematischen Grenzen bedeutet dies: Wenn n gegen unendlich strebt, existiert eine Grenze der Folge. Dies zeigt, dass der Gesamtbetrag aus Kapital und Zinsen am Ende des Jahres nie größer als der Grenzwert der Folge 2,718281828… sein wird, egal wie kurz der Einlagezeitraum ist. Wenn der Zinseszins jeden Moment berechnet wird, beträgt der Gesamtbetrag am Ende des Jahres genau diesen Grenzwert.
Später stieß der Schweizer Mathematiker Euler bei der Untersuchung der Exponential- und Logarithmusfunktionen erneut auf diesen Grenzwert und bezeichnete ihn als e. Er bewies außerdem, dass e eine irrationale Zahl ist. Noch wichtiger ist, dass Euler bewies, dass für jede reelle Zahl x gilt, wenn n gegen unendlich strebt, dann gilt für die Folge . Dies ist genau eine Verallgemeinerung des Beispiels des Zinseszinses: Der Kapitalbetrag ist immer noch 1, aber der Zinssatz wird zu x geändert. Unter diesen Bedingungen beträgt der Gesamtbetrag aus Kapital und Zinsen am Ende des Jahres e^x. Allerdings kann der „Zinssatz“ x positiv oder negativ sein und eine beliebige nicht-nulle Zahl sein.
Die oben beschriebene Bank ist natürlich ein fiktives mathematisches Modell, aber es gibt viele reale Naturphänomene, die diesem Modell entsprechen. Solange eine Größe jeden Moment um einen festen Prozentsatz (oder um einen festen Betrag) zunimmt (oder abnimmt), folgt diese Größe dem oben beschriebenen exponentiellen Wachstums- (oder Rückgangs-) Muster. Beispiele hierfür sind der zeitliche Rückgang der Masse radioaktiver Stoffe, die Abnahme der Intensität von Schall- oder Lichtwellen mit der Entfernung und die Beziehung zwischen der Reaktion des Menschen auf verschiedene Reize und der Stärke dieser Reize. Auch die Schlussfolgerungen von Malthus über das exponentielle Bevölkerungswachstum basieren auf demselben mathematischen Modell.
Euler bewies außerdem, dass die momentane Änderungsrate (d. h. die Ableitung) der Exponentialfunktion e^x gleich sich selbst ist. Beispielsweise, wenn ein bewegtes Objekt zum Zeitpunkt t eine Geschwindigkeit von e^t hat, dann hat es zum selben Zeitpunkt auch eine Beschleunigung von e^t. Diese einzigartige Eigenschaft der Funktion e^x spielt eine besondere Rolle bei der Anwendung der Differentialrechnung, bei der Lösung von Differentialgleichungen und bei verschiedenen theoretischen Ableitungen und technischen Berechnungen.Während der Berechnungen tauchen die Zahl e und e^x immer wieder auf.
Mit dem Fortschritt der Technologie und der Entwicklung der Mathematik wird die Zahl e immer häufiger eingesetzt. Sie ist in allen Bereichen der Mathematik zu finden. Ein wichtiger Grund dafür sind die einzigartigen Eigenschaften der Exponentialfunktion mit e als Basis.