Un giorno del VI secolo a.C., il matematico greco Pitagora passò per una fucina e udì il martello che colpiva il ferro, emettendo un'armonia piacevole. Così, entrò nella fucina per analizzare il martello e capì che quelli con toni armoniosi tra loro avevano una semplice relazione matematica: il loro peso era in rapporto semplice. Più precisamente, quelli con un peso pari a metà, un terzo o un quarto di un altro martello producevano un suono armonioso. D'altra parte, il martello che produceva un rumore quando colpiva con un altro martello non aveva questa relazione di interi semplici. Pitagora ripeté questo esperimento sulle corde e ottenne la stessa scoperta: quando le corde erano divise in due segmenti di lunghezza proporzionale a un intero semplice, producevano un suono più armonioso. L'armonia dei toni dipendeva da una relazione di interi! Questa scoperta musicale ispirò Pitagora, che in seguito attribuì i movimenti dei pianeti a una relazione di interi. Sulla base di queste scoperte, Pitagora affermò che "tutto è numero", ovvero che il mondo intero può essere spiegato con interi o rapporti interi. Questo divenne il credo di lui e della sua scuola pitagorica. La loro concezione geometrica era che due segmenti di linea sono commensurabili se il loro rapporto è un intero semplice. Per spiegare questo concetto sconosciuto, supponiamo che due segmenti di linea abbiano lunghezze rispettivamente di a e b. Se possiamo trovare un piccolo segmento d, in modo che a possa essere diviso per n volte d (cioè a=nd) e b possa essere diviso per m volte d (cioè b=md), allora diciamo che i segmenti a e b sono commensurabili (d è l'unità di misura comune per entrambi). In altre parole, il rapporto tra due segmenti di linea è un intero o una frazione.
Questa conclusione, molto conforme al buon senso e all'intuizione, sembrava indubbia e fu ampiamente accettata dagli antichi greci. Il punto di svolta iniziò dopo che Pitagora dimostrò il teorema di Pitagora. Ipazio, uno studente di Pitagora, studiando il famoso risultato del suo maestro, si chiese: i lati del quadrato e la sua diagonale sono commensurabili? Dopo una seria riflessione, Ipazio scoprì inaspettatamente che questi due segmenti non avevano un'unità di misura comune: qualunque unità di misura si prendesse, non poteva essere l'unità di misura comune per i lati del quadrato e la sua diagonale. In altre parole, i lati del quadrato e la sua diagonale non sono commensurabili! O, il rapporto tra la diagonale del quadrato e i suoi lati (che conosciamo come ) non è un intero né una frazione, ma un numero completamente nuovo e sconosciuto a quel tempo. Questa scoperta fu catastrofica per Pitagora e la sua scuola, poiché contraddiceva i loro dogmi matematici e filosofici. Secondo la leggenda, Ipazio fu annegato in mare dagli aderenti di Pitagora per aver rivelato la sua scoperta.
Dopo Ipazio, furono scoperti molti altri numeri come . In seguito, questi numeri furono chiamati "irrazionali", mentre i numeri precedentemente accettati (interi o rapporti interi) furono chiamati "razionali". Tuttavia, il termine "razionale" e "irrazionale" originariamente significava "commensurabile" e "incommensurabile" per gli antichi greci. Durante la traduzione successiva, oltre al significato di "commensurabile", è stato derivato anche il significato di "razionale" e "irrazionale". Più tardi, in Cina, durante la traduzione, questi termini sono stati tradotti come "numeri razionali" e "numeri irrazionali", e la maggior parte delle persone non conosce più il loro significato originale di "commensurabile" e "incommensurabile".