Nel 1883, il matematico tedesco Cantor presentò un insieme molto strano. Considerando l'intervallo 0, 1 costituito da tutti i numeri reali compresi tra 0 e 1, lo dividiamo in tre parti e rimuoviamo l'intervallo aperto centrale (1/3, 2/3). In questo modo, l'insieme rimanente è l'unione dei due intervalli rimanenti, ovvero 0, 1/3 ∪ 2/3, 1. Successivamente, dividiamo nuovamente ciascun intervallo in tre parti e rimuoviamo l'intervallo aperto centrale, ottenendo un insieme composto da quattro intervalli rimanenti ancora più piccoli. Continuando a rimuovere l'intervallo aperto centrale in ciascun intervallo, otteniamo infine un insieme composto da tutti i numeri rimanenti, che prendiamo il nome di insieme di Cantor. È facile osservare che, dopo aver rimosso l'intervallo centrale di ciascun intervallo, la lunghezza totale di tutti gli intervalli rimanenti diventa 2/3 dell'originale. Poiché la lunghezza iniziale dell'intervallo è 1, dopo la n-esima operazione la lunghezza totale degli intervalli rimanenti sarà solo (2/3)^n. Quando n tende all'infinito, (2/3)^n tende a 0, quindi la "lunghezza totale" dell'insieme di Cantor è 0. Tuttavia, questo dimostra solo che l'insieme di Cantor non contiene alcun intervallo, e non che non contenga alcun numero. Durante la generazione dell'insieme di Cantor, poiché ogni volta rimuoviamo un intervallo aperto, i punti finali di tutti gli intervalli rimanenti non vengono rimossi, quindi numeri come 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 e così via rimangono nell'insieme di Cantor. Infatti, poiché tutte le frazioni del tipo (1/3)^n vengono conservate, nell'insieme di Cantor ci sono infiniti numeri! Ancora più interessante, l'insieme di Cantor contiene anche molti numeri al di fuori dei "valori dei punti finali". Nonostante i numeri nell'insieme di Cantor siano infiniti, intuitivamente sembrerebbero essere molto meno dei numeri reali nell'intervallo 0, 1. Tuttavia, sorprendentemente, questo non è vero, in realtà i numeri nell'insieme di Cantor sono altrettanti quanti quelli nell'intervallo 0, 1! È molto più grande dei numeri razionali che sembrano popolare l'intervallo 0, 1! Per dimostrarlo, rappresentiamo tutti i numeri tra 0 e 1 come numeri ternari. Se dividiamo questi numeri in tre parti uguali, essi saranno rispettivamente i numeri compresi tra 0 e 0,1, 0,1 e 0,2 e 0,2 e 1. Rimuoviamo l'intervallo centrale, che sono tutti i numeri con il primo bit pari a 1, e i numeri rimanenti saranno tutti quelli con il primo bit pari a 0 o 2. Nella fase successiva, rimuoviamo un terzo dell'intervallo centrale, ovvero tutti i numeri con il secondo bit pari a 1, e i numeri rimanenti saranno tutti quelli con il secondo bit pari a 0 o 2... e così via. Alla fine, i numeri rimasti nell'insieme di Cantor saranno proprio quelli costituiti solo da 0 e 2 come numeri ternari! Ad esempio, il numero 0,25 come numero ternario è 0,20202..., quindi 0,25 appartiene effettivamente all'insieme di Cantor. Inoltre, sebbene 1/3 come numero ternario sia 0,1, e 1/9 sia 0,01, possiamo riscriverli come numeri con cicli infiniti (come 0,999... = 1), quindi anche loro appartengono all'insieme di Cantor. Quindi, possiamo facilmente mettere in corrispondenza uno a uno i numeri dell'insieme di Cantor con tutti i numeri reali nell'intervallo 0, 1. Per ogni numero nell'insieme di Cantor, prima lo trasformiamo in un numero ternario, espandendo il numero ternario e trasformando tutti i 2 in 1, quindi lo consideriamo come un numero binario e lo riconvertiamo in decimale, che sarà un numero reale nell'intervallo 0, 1. Allo stesso modo, per ogni numero reale nell'intervallo 0, 1, lo scriviamo come numero binario, trasformiamo tutti gli 1 in 2 e lo consideriamo come un numero ternario.Un numero decimale nel sistema ternario diventa un numero del insieme di Cantor. Di conseguenza, esiste una corrispondenza biunivoca tra i numeri dell'insieme di Cantor e i numeri reali dell'intervallo 0, 1, e il numero di numeri in entrambi gli insiemi è uguale!
L'insieme di Cantor ha una "lunghezza totale" pari a 0, ma il numero di elementi che contiene è uguale a quello dell'intervallo dei numeri reali. Queste proprietà bizzarre hanno rapidamente attirato l'attenzione dei matematici. L'insieme di Cantor svolge un ruolo importante in vari rami della matematica, come la teoria degli insiemi, la topologia, la teoria della misura, l'analisi reale e la teoria dei frattali.