I numeri razionali e i numeri irrazionali insieme formano i numeri reali. Dopo aver scoperto che i numeri razionali possono essere tanti quanto i numeri interi positivi che ne fanno parte, Cantor si è naturalmente posto la domanda: i numeri reali possono essere tanti quanto i numeri razionali che ne fanno parte? Dopo un'attenta ricerca, Cantor è giunto a una conclusione negativa. Per illustrare la conclusione di Cantor, notiamo innanzitutto un fatto: la linea che parte dal punto A rende i punti sulla semicirconferenza in corrispondenza uno a uno con i punti sull'asse reale, mentre le linee perpendicolari rendono i punti sull'intervallo (0,1) in corrispondenza uno a uno con i punti sulla semicirconferenza. Quindi possiamo affermare che i numeri reali sull'intervallo (0,1) sono tanti quanto i numeri reali nel loro insieme.
Ora, a Cantor restava solo dimostrare che i numeri reali sull'intervallo (0,1) non potevano essere disposti in una serie infinita come i numeri razionali. A questo scopo, ha fornito una prova molto intelligente per contraddizione: supponiamo che i numeri reali sull'intervallo (0,1) possano essere disposti in una serie, indicata come x₁, x₂, x₃, .... Sappiamo che ogni numero reale sull'intervallo (0,1) può essere rappresentato in modo univoco come un numero decimale infinito, e ogni xᵢ può essere rappresentato come xᵢ=0.aᵢ₁aᵢ₂aᵢ₃... (i=1,2,...).
Ora, costruiamo un nuovo numero x=0.b₁b₂b₃..., in modo che b₁≠a₁₁, b₂≠a₂₂, b₃≠a₃₃, ... e così via. Questo numero x è certamente un numero reale sull'intervallo (0,1), ma non può essere uno dei numeri della serie x₁, x₂, x₃, ... sopra menzionata.
Questo dimostra che, indipendentemente da come i numeri reali sull'intervallo (0,1) siano disposti, ci sarà sempre almeno un numero che non può essere inserito in questa serie. Pertanto, sebbene i numeri reali sull'intervallo (0,1) e i numeri razionali siano entrambi infiniti, l'infinità del primo (cioè l'infinità di tutti i numeri reali) è maggiore dell'infinità del secondo (cioè l'infinità di tutti i numeri naturali). Poiché i numeri reali, sottraendo i numeri razionali, sono tutti i numeri irrazionali, è evidente che anche i numeri irrazionali non possono essere disposti in una serie (poiché due serie possono sempre essere unite in una sola), il che dimostra che i numeri irrazionali sono più numerosi dei numeri razionali.