Una giornata d'estate del 1900, oltre 200 dei più eminenti matematici si riunirono a Parigi, in Francia, per un congresso internazionale di matematica. Durante il congresso, il famoso matematico tedesco Hilbert tenne un importante discorso dal titolo "Problemi matematici". Nel suo discorso, elencò una serie di problemi matematici che considerava i più importanti. Questi problemi attirarono l'interesse di molti matematici e hanno avuto un profondo impatto sullo sviluppo della matematica. Cento anni dopo, nel 2000, i matematici del Clay Mathematics Institute statunitense si riunirono nuovamente a Parigi per un congresso matematico. In quell'occasione, i partecipanti elencarono anche alcuni dei problemi matematici che ritenevano più importanti. Anche se la loro reputazione poteva non essere paragonabile a quella di Hilbert, fecero qualcosa che lui non era riuscito a fare: stabilirono un enorme premio di 1 milione di dollari per ciascun problema. Queste due conferenze matematiche, tenute a Parigi, avevano un'altra notevole caratteristica in comune: tra i problemi elencati, ce n'era uno solo che era comune ai due congressi. Questo problema era la congettura di Riemann, proposta da Riemann nel 1859, che molti matematici considerano una delle congetture matematiche più importanti.
Che cos'è la congettura di Riemann? Il contenuto della congettura di Riemann non può essere completamente descritto con la matematica elementare. In termini generali, si tratta di una congettura riguardante una funzione di variabile complessa chiamata funzione zeta di Riemann (ovvero una funzione il cui valore è dato in un dominio complesso). Come molte altre funzioni, la funzione zeta di Riemann assume il valore zero in alcuni punti, chiamati punti zero della funzione zeta di Riemann. Tra questi punti zero, ce n'è una parte particolarmente importante, chiamata punti zero non triviali della funzione zeta di Riemann.
La congettura di Riemann rimane ancora irrisolta (non è stata né dimostrata né confutata) fino ad oggi. Tuttavia, i matematici l'hanno studiata approfonditamente da due diversi punti di vista: l'analisi e il calcolo numerico. Fino ad oggi, il risultato più forte ottenuto nell'analisi è la dimostrazione che almeno il 40% dei punti zero non triviali si trova sulla linea critica, che è una linea parallela all'asse immaginario e passante per il punto 1/2 sull'asse reale.
Perché la congettura di Riemann è così importante? È perché è molto difficile? No. Naturalmente, la congettura di Riemann è davvero molto difficile, ma se la difficoltà fosse l'unico criterio, altre famose congetture matematiche non sarebbero da meno. Ad esempio, la congettura di Fermat è stata dimostrata dopo oltre 350 anni di sforzi; la congettura di Goldbach è stata formulata più di 100 anni prima della congettura di Riemann, ma, come questa, è ancora in piedi fino ad oggi. Quindi, perché la congettura di Riemann è considerata la congettura matematica più importante? Il motivo principale è che è strettamente collegata ad altre proposizioni matematiche. Secondo le statistiche, oggi nella letteratura matematica ci sono più di 1.000 proposizioni matematiche che presuppongono la verità della congettura di Riemann (o delle sue generalizzazioni). Ciò significa che, una volta dimostrata la congettura di Riemann (o le sue generalizzazioni), tutte queste 1.000 o più proposizioni matematiche potranno diventare teoremi; al contrario, se la congettura di Riemann venisse confutata, almeno una parte di queste 1.000 proposizioni matematiche inevitabilmente diventerebbe "vittima". Il fatto che una congettura matematica sia strettamente collegata a un numero così elevato di proposizioni matematiche è senza precedenti nella matematica. Inoltre, la congettura di Riemann è strettamente correlata al problema della distribuzione dei numeri primi nella teoria dei numeri, un ramo tradizionale e molto importante della matematica, definito da Gauss come "la regina della matematica". Il problema della distribuzione dei numeri primi è a sua volta un tema tradizionale e molto importante della teoria dei numeri, che ha sempre attirato l'interesse di molti matematici. Ciò ha notevolmente aumentato l'importanza della congettura di Riemann tra i matematici.Il Riemann Hypothesis è uno dei più importanti problemi irrisolti della matematica moderna. È un problema che, oltre ad avere un valore intrinseco, ha anche un'importanza pratica perché potrebbe avere implicazioni in altri campi della matematica. Inoltre, un criterio per misurare l'importanza di un'ipotesi matematica è se, durante la sua ricerca, si riescono a sviluppare metodi e risultati che contribuiscano e abbiano un impatto su altri aspetti della matematica. Infatti, uno dei primi risultati ottenuti dai matematici durante la ricerca del Riemann Hypothesis ha portato direttamente alla dimostrazione di un'importante proposizione sulla distribuzione dei numeri primi, il Teorema dei Numeri Primi. Infine, e più sorprendentemente, l'importanza del Riemann Hypothesis va oltre il campo della matematica pura e "invade" il territorio della fisica. All'inizio degli anni '70, si è scoperto che alcune ricerche relative al Riemann Hypothesis avevano una notevole correlazione con alcuni fenomeni fisici molto complessi. La ragione di questa correlazione è ancora un mistero oggi, ma la sua esistenza ha senza dubbio aumentato ulteriormente l'importanza del Riemann Hypothesis.