Nella sequenza dei numeri primi, alcuni numeri primi adiacenti hanno una differenza di 2, come 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, ecc. Tali numeri primi sono chiamati numeri primi gemelli. A prima vista, sembra che i numeri primi gemelli siano abbastanza densi nella sequenza dei numeri primi, ma in realtà non lo sono. Diventa sempre più difficile trovarli man mano che si va avanti. Può essere dimostrato che i numeri primi gemelli sono piuttosto rari nella sequenza dei numeri primi, con una densità pari a zero; in altre parole, quasi tutti i numeri primi non sono numeri primi gemelli. Nonostante ciò, i numeri primi gemelli si presentano di tanto in tanto. Nel 2011, sono stati scoperti due numeri primi gemelli con 200.700 cifre: 3756801695685 × 2666669 ± 1. Sembra che i numeri primi gemelli non abbiano fine. Si ipotizza che esistano infiniti coppie di numeri primi gemelli. Questa congettura è altrettanto difficile da risolvere quanto il problema di Goldbach per i numeri pari e, fino ad oggi, non è stata risolta. Nel 2013, lo scienziato matematico cinese-americano Zhang Yitang ha dimostrato l'esistenza di un numero pari n, non superiore a 7×10^7, per il quale esistono infinite coppie di numeri primi p e q tali che p q = n. Questo è il progresso più importante nella ricerca dell'ipotesi dei numeri primi gemelli dall'introduzione di questa congettura.
L'ipotesi dei numeri primi gemelli può anche essere formulata come segue: il polinomio x e x+2 possono assumere valori primi infinitamente molte volte. Utilizzando il linguaggio dei polinomi, è anche possibile formulare l'ipotesi dei tre numeri primi gemelli: il polinomio x, x+2 e x+6 possono assumere valori primi infinitamente molte volte. Più in generale, i matematici britannici Hardy e Littlewood hanno proposto l'ipotesi dei k numeri primi gemelli, dove k è un numero intero positivo fisso. Naturalmente, nessuna di queste ipotesi è stata dimostrata.
L'ipotesi di Erdős-Turán considera invece alcune connessioni tra i numeri primi, senza richiedere particolari requisiti per la differenza tra i numeri primi (come per i numeri primi gemelli, dove la differenza è 2), ma richiedendo un numero arbitrario di numeri primi. L'ipotesi di Erdős-Turán afferma che nella sequenza dei numeri primi esistono sequenze aritmetiche di lunghezza arbitraria. Nel 2004, in collaborazione con Green, Tao ha combinato la teoria dell'iterazione e la teoria analitica dei numeri per risolvere questo problema insoluto da molti anni in teoria dei numeri, che è stato uno dei principali contributi di Tao all'assegnazione del premio Fields.