一次方程式に解の公式はあるのでしょうか？2x-6=0、x2-3x+2=0、x3-5-12=0などの方程式は、すべて一次代数方程式と呼ばれています。これらの方程式は、最高の項の度数によって一次方程式、二次方程式、三次方程式などと呼ばれています。一次方程式の解法は非常に簡単です。一方、二次代数方程式の解法については、多くの古代文明が正しい結果を発見していました。実際、一般の二次方程式ax2+bx+c=0（a≠0）については、次のような解の公式があります。この公式では、方程式の係数の加減乗除や根式演算によって方程式の解が表され、このような公式から得られる解を根式解と呼びます。
12世紀にヨーロッパの数学者たちは二次方程式の解法を掌握しました。その後、彼らは三次方程式の根式解について研究を始めました。何世紀にもわたって、多くの人々が失敗しました。1494年、ある数学者は三次方程式を解くことは「円を正方形に変える」ことと同じくらい難しいと悲観的に予測しました。しかし、1500年頃、イタリアの数学者フェロが一元三次方程式の一部の項が欠けている方程式の解法を発見しました。しかし、彼は自分の成果を公開せず、死の床で弟子のフィオーレらに解法を教えました。その後、別のイタリアの数学者タルタリアが三次方程式の解法を発見しました。1535年、フィオーレとタルタリアの間で公開対決が行われました。両者はミラノで30問の三次方程式の問題を出題し、誰がより多くの問題を解決できるかを競いました。当初、タルタリアはx3+mx2のような一次項がない一元三次方程式の解法しか掌握していませんでした。そのため、試合に勝つために、彼は何日も考え、試合の前夜にようやくさまざまな種類の一元三次方程式の解法を見つけました。結果、タルタリアは見事に勝利しました。
その後間もなく、別の数学者カルダーノ（別名カダン）がこのことを耳にしました。その後、カルダーノは何度もタルタリアに三次方程式の解法を教えを求めましたが、最終的に永遠の秘密を守るという誓いのもと、タルタリアはカルダーノに秘密を明かしました。その後、カルダーノは研究を重ね、あらゆる種類の三次方程式の解法と証明を得ました。1545年、カルダーノは最も重要な数学著作《大術》を出版し、自身の発見を公開しました。同時に、この著作には彼の弟子フェラリの重要な発見である一元四次方程式の一般解法も含まれていました。カルダーノの信頼破れにより、タルタリアとの論争は避けられませんでした。1548年8月10日、ミラノで行われた公開討論でこの論争が最高潮に達しました。この公開討論では、タルタリアはフェラリに対して敗北しました。現在も三次方程式の解法はカルダーノの公式と呼ばれています。
しかし、数学は決して止まることはありません。ある問題の解決は、新しい問題の誕生を意味します。《大術》以降、人々はすぐに次の挑戦に取り組み始めました。それは、五次方程式の根式公式を見つけることでした。誰もが信じていたように、一元五次方程式は解けるはずでした。しかし、100年、さらに100年が経過しても、成功はなかった。
1823年末、本当の突破が起きました。わずか21歳のノルウェーの数学者アベルは、一般の一元五次代数方程式に根式解はないことを証明しました。これが2世紀以上にわたって人々がこの「聖杯」を追求していた理由でした。アベルあなたは自分の研究成果の複写を作成しました。印刷費用を節約するために、彼は自分の考えの要点をまとめただけで、たった6ページでした。証明が過度に単純化されていたため、論文は数学界に受け入れられませんでした。エイベルは一生を貧困と病気に苦しめられ、1829年4月6日に27歳という若さで亡くなりました。
エイベルの死後、彼の証明が受け入れられ始めましたが、それでも新たな問題が発生しました。どの方程式が根式で解けるのか、解けないのか。適切な判別法はあるのか。エイベルの早すぎる死により、この問題は解決されず、ガロアという数学史上最も伝説的で悲劇的な数学者に残されたままとなりました。
ガロアは17歳のときにすでにこの分野で進歩を遂げ、その後数年間にわたって多数の論文を発表しました。しかし、彼の論文は退稿されたり、失われたり、理解されなかったりして、数学界から認められることはありませんでした。その後、ガロアはさまざまな不幸な個人的経験に直面し、重なってくる挫折に打ち克つかず、情熱を政治に向けてしまい、2度にわたって投獄されました。1832年、ガロアは無意味な決闘に巻き込まれ、決闘の前夜に徹夜して自分の研究を要約しました。1832年5月30日、ガロアは決闘で倒れ、22歳で亡くなりました。10年以上後、彼の論文が再編集されて出版され、彼の天才的な思想が評価されました。
ガロアの思想の美しさは、彼が一般の一次5次（およびそれ以上）代数方程式が根式で解けないことを証明しただけでなく、一般の一次二次、三次、四次方程式が解ける理由を説明したことにあります。彼の研究はまた、代数方程式に根式解があるかどうかを明確に判別する基準を提供し、300年にわたって続いた代数方程式の根式解の難題に完璧な解決策をもたらしました。ガロアの業績の画期的な意義は、この問題を解決する過程で群論の思想を導入し、数学研究に新しい局面を開いたことにあります。