素数列では、3と5、5と7、11と13など、隣り合う素数の差が2になることがあります。このような素数は「双子素数」と呼ばれています。一見、双子素数は素数列に密集しているように見えますが、実際にはそうではありません。後半に行くほど、見つけにくくなっていきます。証明すると、双子素数は素数列に非常にまれで、密度はゼロです。つまり、ほとんどの素数は双子素数ではないのです。それでも、双子素数は時々現れることがあります。2011年には、200700桁の2つの双子素数が発見されました。3756801695685×2666669±1^。双子素数は無限に続くようです。人々は無限の双子素数の組み合わせがあると推測しています。この推測の難易度は偶数のゴールドバッハ予想に匹敵し、現在も解決されていません。2013年、アメリカの華人数学者である張一統は、7×10^7以下の正の偶数nが存在し、素数pとqの無限の組み合わせでpq=nが成り立つことを証明しました。これは双子素数予想が提唱されて以来、最も顕著な研究成果の1つでした。
双子素数予想は、多項式xとx+2が同時に素数値を取ることが無限回できるかどうかというものです。多項式の言語を使うと、三素数予想も提唱できます。多項式x、x+2、x+6が同時に素数値を取ることが無限回できるかどうかというものです。より一般的に、英国の数学者ハーディとリトルウッドは、正の全数kを固定したk素数予想を提唱しています。もちろん、上記の予想はいずれも証明されていません。
エルデシュ-トゥラン予想は、素数間のいくつかの関係を考慮するもので、素数間の差に特定の要件（例えば、双子素数の差は2）はなく、素数の数が任意の多さであればよいとします。エルデシュ-トゥラン予想は、素数列に任意の長さの等差部分列が存在すると述べています。2004年、タオ・チェーとグリンは遍在理論と解析数論を組み合わせて、この長年の未解決の数論問題を解決しました。これはタオがフィールズ賞を受賞する主な功績の1つでした。