素数は有限個存在するのか無限個存在するのか？これは非常に基本的な問いです。実際、素数は無限個存在しますが、これは明らかではありません。素数の無限性についての最初の証明は、ユークリッドの有名な著作『幾何学原論』の第9巻の命題20に登場しています。ユークリッドは反証法を用いました。もし素数がk個しかないと仮定し、それらを小さくから大きくに並べるとp1，p2，...，pkの場合、P = p1p^2...p^k + 1を調べると、p^はpkよりも大きくなるので、p^は合数でなければなりません。p^がp^の任意の素因子であると仮定すると、pはp1，p2，...，pkのいずれかでなければならず、1を割ることになります。これは矛盾です。したがって、素数は無限個存在することが証明されました。
素数の無限性の別の証明はオイラーによって与えられました。同様に反証法を用いて、素数がk個しかないと仮定し、それらを小さくから大きくに並べるとp1（=2）, p2（=3）, ..., p(^)kのうち、kは正の全数です。乗積は明らかに有限の正数です。算術基本定理を用いて、1より大きな全数nはp1，p(^2)，...，p(^)kの何らかのべき乗に分解することができるため、上記の最初の式を括弧なしに展開すると、しかし、オイラーは上記の式の右辺の正整数の倒数の和が無限大になることをすでに知っていたため、矛盾が発生します。したがって、素数は無限個存在することが証明されました。
もし素数が有限個存在するなら、数論の多くの難問は難問ではなくなります（ゴルダバッハの予想などは存在しなくなります）。しかし、そうすると、数論の魅力と研究価値も大幅に減少します。オイラーの証明はユークリッドの証明よりもやや複雑ですが、それはドイツの数学者リマンがζ関数を用いて素数分布を研究するきっかけとなりました。
素数が無限個存在することが証明された後、より深い問いを考えることができます。数直線上に大きな数xを取ると、x以下の素数はいくつあるのでしょうか？18世紀末、ガウスとルジャンドルは、x以下の素数の数がおよそx/lnxであり、xが大きくなるほどこの近似値がより正確になると推測していました。ガウスの予想は、xが大きくなるほど、x以下の素数の増加率を示していました。
この予想を証明するために、リマンはζ関数の理論を提唱し、発展させました。リマンのこの作業は、明らかにユークリッドの素数無限性の証明からインスピレーションを受けていました。リマンが示した方向に沿って、100年以上後の1896年にフランスの数学者アダマとベルギーの数学者プセンはそれぞれ証明を発見し、それ以来、この予想は素数定理と呼ばれています。
リマンはζ関数の理論を発展させる過程で、有名なリマン予想を提唱しました。この予想は現在も証明されていません。リマン予想と素数分布は密接に関連しており、その等価形式の1つは、素数定理が可能な限り最良の誤差項を持つことです。