1900年の夏、200人以上の最も優秀な数学者たちがフランスのパリで国際数学者会議を開催しました。会議で、有名なドイツの数学者ヒルベルトは「数学の問題」という重要な講演を行いました。彼の講演では、当時最も重要と考えられていた数学の難題のリストを示しました。これらの難題は多くの数学者の関心を集め、数学の発展に大きな影響を与えました。100年後の2000年、アメリカのクレイ数学研究所の数学者たちもパリで数学会議を開催しました。会議では、参加者たちも自分たちが最も重要と考える数学の難題のリストを示しました。彼らの名声はヒルベルトには及ばないかもしれませんが、彼らはヒルベルトができなかったことをしました。それは、各難題に100万ドルの巨額の賞金を設定することでした。この2つの相応の数学会議は、いずれもフランスのパリで開催され、共通点が1つありました。それは、リストに記載された難題のうち、1つだけが共通のものでした。それは、1859年にリマンによって提唱されたリマン予想であり、多くの数学者によって最も重要な数学の予想の1つと見なされています。
リマン予想は何でしょうか？リマン予想の内容は初等数学では完全には記述できません。大まかに言えば、それは複素変数関数（すなわち変数と関数の値がいずれも複素数として表される関数）の1つであるリマンζ関数に関する予想です。リマンζ関数は他の多くの関数と同様に、特定の点で値が0になる場合があります。これらの点はリマンζ関数のゼロ点と呼ばれます。これらのゼロ点のうち、特に重要なのは非平凡ゼロ点と呼ばれるものです。リマン予想は、これらの非平凡ゼロ点がすべて「臨界線」と呼ばれる特殊な直線上に分布すると予測しています。
リマン予想は今日でも未解決のままです（証明されても反証されても）。しかし、数学者たちは分析と数値計算という2つの異なるアプローチでそれを深く研究してきました。分析の側面で得られた最も強い結果は、少なくとも40%の非平凡ゼロ点が临界線上にあることを示しています。数値計算の側面で得られた最も強い結果は、最初の10兆個の非平凡ゼロ点がすべて上記の临界線上にあることを示しています。
なぜリマン予想はそんなに重要なのでしょうか？それは非常に難しいからでしょうか？もちろん、リマン予想は非常に難しいものですが、もし難しさだけで判断するのであれば、他の有名な数学予想も劣っていません。例えば、フェルマーの予想は350年以上にわたって努力して証明されました。ゴルデバッハの予想はリマン予想よりも100年以上前に提唱されましたが、リマン予想と同様に今日まで存続しています。では、なぜリマン予想は最も重要な数学予想と見なされるのでしょうか？最初の理由は、他の数学命題と密接に関連していることです。統計によれば、今日の数学文献には1,000以上の数学命題がリマン予想（またはその一般化）の成立を前提としています。これは、リマン予想とその一般化が証明されれば、1,000以上の数学命題すべてが定理となることを意味します。反対に、リマン予想が反証されれば、その1,000以上の数学命題のうち少なくとも1つは「陪葬品」になるでしょう。数学予想と多数の数学命題が密接に関連していることは、数学では非常に異例のことです。第二に、リマン予想は素数分布問題と密接に関連しています。素数分布問題は数学の伝統的な分野であり、ドイツの数学者ガウスによって「数学の女王」と呼ばれています。素数分布問題は長年にわたって多くの数学者の関心を集めてきました。これもリマン予想の重要性を高めています。数学理論の地位と重要性に関しては、もう1つの評価基準があります。それは、その理論を研究する過程で、数学の他の分野に貢献し、影響を与える方法や結果が生み出されるかどうかです。実際、数学者たちがリーマン予想を研究する過程で得た初期の成果の1つは、素数分布に関する重要な定理である素数定理の証明につながりました。最後に、そして最も予想外なことに、リーマン予想の重要性は純粋数学の範囲を超えて物理学の分野にまで及んでいます。1970年代初期に、リーマン予想に関連する研究が非常に複雑な物理現象と明らかに関連していることが発見されました。この関連性の理由は今でも謎ですが、その存在自体がリーマン予想の重要性をさらに高めています。