普通のA4用紙を取り、自分が何回折れるか予測してみてください。実際に試してみると、おそらく予測した回数よりも少なくなるでしょう。実際、最多で7回しか折れないのです。なぜ普通の紙を数回折っただけで折れにくくなるのでしょうか。折りたたみの回数に応じて紙の厚さがどのように変化するかを見てみましょう。A4用紙の厚さが0.1 mmの場合、1回折ると厚さが0.2 mm、2回折ると0.4 mm……と増えていきます。同時に、幅も同じ割合で減っていきます。A4の長辺は約300 mmです。1回折ると、150 mmになり、2回折ると75 mmになります。つまり、厚さ0.1 mm、長さ300 mmの用紙を7回折ったとしても、厚さ12.8 mm、幅2.34 mmの紙になります。8回折ると、厚さ25.6 mm、幅1.17 mmになります。厚さは幅の20倍以上になります。明らかに、誰もこのような快挙を達成することはできないでしょう。
折り方を変えたり、より大きな用紙を使ったりすると、もっと折れるのでしょうか。つまり、「どんな用紙でも7回以上折れない」という俗説は正しいのでしょうか。海外の「都市伝説を終わらせる」番組がこの主張にチャレンジしました。実験者は、厚さ0.1 mmの用紙を使い、サッカースタジアムほどの大きさの用紙から始めました。最終的には、機械的なツールを使って11回折ることができました。
2001年、アメリカの女子高校生がこの問題に関するより完璧な答えを提示しました。彼女は、交互に折りたたむ方法と、一方向にだけ折りたたむ方法の両方を入念に研究しました。最終的に、彼女は、多くの回数を折りたたむには、長さが長くて幅が狭い用紙を選ぶ方が良いと結論づけました。彼女は、この場合の折りたたみ回数、実際の最小長さ、および材料の厚さに関する関係式を導き出しました。彼女の公式によれば、12回折るには適切なトイレットペーパーを選び、その長さが1.2 km以上必要であることがわかりました。
2002年1月、彼女は両親の同行の下で、大型ショッピングモールで挑戦を始めました。長いトイレットペーパーを広げて折り始めました。7時間後、彼女は11回折り、80 cm長、40 cm高の厚板を作りました。さらに折ると、最終的に12回折ることに成功しました。
2011年、数学の教師と15人の学生は、長さが3.2 km以上のトイレットペーパーを使って4時間かけて、13回折るという新記録を更新しました。それでは、より長い用紙とより大きな忍耐力があれば、記録を更新できるのでしょうか。簡単に計算すると、0.1 mm厚の用紙を20回折った後の厚さは10^5メートルになり、30回折ると10^7 kmになります。51回折ると、厚さは地球から太陽までの距離を超えるでしょう。確かに、わずか数十回折っただけでこんなに厚くなることは想像しにくいです。折り紙の例では、限られた回数で指数関数的に増加する数字に驚かされます。